離散數(shù)學(xué)論文大全11篇

緒論：寫作既是個(gè)人情感的抒發(fā)，也是對(duì)學(xué)術(shù)真理的探索，歡迎閱讀由發(fā)表云整理的11篇離散數(shù)學(xué)論文范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發(fā)。

篇（1）

⑴不理解定理是進(jìn)行推理的依據(jù)。其實(shí)如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進(jìn)行分解，發(fā)現(xiàn)它的骨干是由一個(gè)一個(gè)定理組成的。而學(xué)生書寫的不完整、不嚴(yán)密，就因?yàn)槿狈?duì)定理必要的理解，不會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，從而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無(wú)法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。

⑵找不到運(yùn)用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對(duì)應(yīng)的基本圖形。具體表現(xiàn)在不熟悉圖形和定理之間的聯(lián)系，思考時(shí)把定理和圖形分割開來。對(duì)于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標(biāo)準(zhǔn)形），學(xué)生就難以思考。

⑶推理過程因果關(guān)系模糊不清。

針對(duì)以上的原因，我們?cè)诮虒W(xué)中采取了一些自救對(duì)策。

一、教學(xué)環(huán)節(jié)

對(duì)幾何定理的教學(xué)，我們?cè)诩兄v授時(shí)分5個(gè)環(huán)節(jié)。第1、2環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現(xiàn)方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5環(huán)節(jié)是定理在解題分析時(shí)的導(dǎo)向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設(shè)計(jì)如下：

基本要求重新建立表象推理模式組合定理聯(lián)想定理

二、操作分析和說明

⒈定理的基本要求

我們認(rèn)為，能正確書寫證明過程的前提是學(xué)會(huì)對(duì)幾何定理的書寫，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語(yǔ)言是證明過程中的基本單位。因而在教學(xué)中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學(xué)生盡快熟悉每一個(gè)定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁(yè)，此只列出與本文有關(guān)的定理），集中展示給學(xué)生。

例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

一劃：就是找出定理的題設(shè)和結(jié)論，題設(shè)用直線，結(jié)論用波浪線，要求在劃時(shí)突出定理的本質(zhì)部分。

如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。

二畫：就是依據(jù)定理的內(nèi)容，能畫出所對(duì)應(yīng)的基本圖形。

如：

三寫：就是在分清題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上，能用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)，允許采用等同條件。

如：ABC是Rt，CDAB于D（條件也可寫成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。

學(xué)生在書寫時(shí)果然出現(xiàn)了一些問題：

①不理解每個(gè)定理的條件和結(jié)論。學(xué)生在書寫時(shí)往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對(duì)條件太簡(jiǎn)單的不會(huì)寫（如定理3）；或者把條件當(dāng)成結(jié)論（如定理12把三線都當(dāng)成結(jié)論）。

②還表現(xiàn)在思維偏差。我們的要求是會(huì)用定理，而有些學(xué)生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個(gè)定理中出現(xiàn)××，又××，××的錯(cuò)誤。

③更多的是沒有抓住本質(zhì)。具體表現(xiàn)在把非本質(zhì)的條件當(dāng)成本質(zhì)條件（如定理7出現(xiàn)∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；條件重復(fù)（如定理49，結(jié)論∠APO＝∠BPO已經(jīng)包括過圓心O，學(xué)生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號(hào)語(yǔ)言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數(shù)學(xué)教師傳授知識(shí)的重要原則。“表象”就是人們對(duì)過去感知過的客觀世界中的對(duì)象或?qū)ο笤陬^腦中留下來的可以再現(xiàn)出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個(gè)定理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)圖形，這給我們?cè)诮虒W(xué)中提供了一定的便利。我們要求學(xué)生對(duì)定理的表象不能只停留在實(shí)體的形象上，而是讓學(xué)生有意識(shí)的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認(rèn)為，這對(duì)于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。

教給學(xué)生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生，下面是一段經(jīng)整理后的課堂教學(xué)主要內(nèi)容：

⑴問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？

答：垂徑定理我在想的時(shí)候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個(gè)直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個(gè)條件之一，腦子里就會(huì)浮現(xiàn)出垂徑定理。

目的：建立單個(gè)定理的表象，要求能想到非標(biāo)準(zhǔn)圖形。

繼續(xù)問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？

答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……

甚至有學(xué)生想到了兩條平行弦……

目的：通過表象，進(jìn)行聯(lián)想，使學(xué)生理解定理間的聯(lián)系。

⑵問：從定理21開始，你能找出和它有聯(lián)系的定理嗎？

答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變化，加深定理間的聯(lián)系。

⑶下面的步驟，我們讓學(xué)生自主思考。學(xué)生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進(jìn)一步熟悉定理的三種語(yǔ)言、定理之間的聯(lián)系和區(qū)別。從學(xué)生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯(lián)系，在一個(gè)基本圖形中往往存在著另一個(gè)殘缺的基本圖形，所以學(xué)生大多通過連線、延長(zhǎng)、作圓、平移、旋轉(zhuǎn)等手段，也有通過特殊化、找同結(jié)論等途徑把不同的定理聯(lián)系起來。

下面摘錄的是學(xué)生自主思考后，得到的富有創(chuàng)意性的結(jié)論。

①定理16（延長(zhǎng)中線成矩形）定理24（作矩形的外接圓）定理34。

②定理51（一線過圓心，且兩線垂直）定理36（一線平移成切線）定理47、48（繞切點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）定理50。

③如下圖，把EF向下平移（或繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），使定理37和50聯(lián)系起來（有同結(jié)論∠α＝∠D）：

⒊推理模式

從學(xué)生各方面的反饋情況看，多數(shù)學(xué)生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復(fù)雜而又摸不定，往往聽課時(shí)知道該如何寫，而自己書寫時(shí)又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學(xué)生看得清而又摸得著呢？為此，我們?cè)诙酵评淼幕A(chǔ)上，經(jīng)過歸納整理，總結(jié)了三種基本推理模式。

具體教學(xué)分三個(gè)步驟實(shí)施：

⑴精心設(shè)計(jì)三個(gè)簡(jiǎn)單的例題，讓學(xué)生歸納出三種基本推理模式。

①條件結(jié)論新結(jié)論（結(jié)論推新結(jié)論式）

②新結(jié)論（多個(gè)結(jié)論推新結(jié)論式）

③新結(jié)論（結(jié)論和條件推新結(jié)論式）

⑵通過已詳細(xì)書寫證明過程的題目讓學(xué)生識(shí)別不同的推理模式。

⑶通過具體習(xí)題，學(xué)生有意識(shí)、有預(yù)見性地練習(xí)書寫。

這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學(xué)生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時(shí)有一定的模式，有效地克服了學(xué)生書寫的盲目性。

但教學(xué)表明學(xué)生仍然出現(xiàn)不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結(jié)為對(duì)推理的因果關(guān)系不明確、定理是推理的依據(jù)和單位不明白。因而我們根據(jù)需要，又設(shè)計(jì)了以下一個(gè)環(huán)節(jié)。

⒋組合定理

基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號(hào)語(yǔ)言。因而在這一環(huán)節(jié)，我們讓學(xué)生在證明的過程中找出單個(gè)定理的因果關(guān)系、多個(gè)定理的組合方式，然后由幾個(gè)定理組合后構(gòu)造圖形，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生“用定理”的意識(shí)。

下面通過一例來說明這一步驟的實(shí)施。

例1：已知如圖，四邊形ABCD外接O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面積。（2001年嘉興市質(zhì)量評(píng)估卷六）

證明：連結(jié)OB，連結(jié)OA交BD于F。

學(xué)生從每一個(gè)推測(cè)符號(hào)中找出所對(duì)應(yīng)的定理和隱含的主要定理：

比例基本性質(zhì)S/AS/證相似相似三角形性質(zhì)垂徑定理勾股定理三角形面積公式

由于學(xué)生自己主動(dòng)找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實(shí)是由一個(gè)一個(gè)定理連結(jié)起來的，也讓學(xué)生體會(huì)到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴(yán)密的推理過程。此時(shí)，可順勢(shì)布置以下的任務(wù)：給出勾股定理，你能再結(jié)合一個(gè)或多個(gè)定理，構(gòu)造圖形，并編出證明題或計(jì)算題嗎？

實(shí)踐表明：經(jīng)過“模式＋定理”書寫方法的熏陶后，學(xué)生基本具備了完整書寫的意識(shí)。

⒌聯(lián)想定理

分析圖形是證明的基礎(chǔ)，幾何問題給出的圖形有時(shí)是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構(gòu)造出定理的基本圖形，為運(yùn)用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯(lián)想（這也是教師分析幾何證明題、學(xué)生證題的基本方法之一），但對(duì)于識(shí)圖或想象力較差的學(xué)生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復(fù)雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側(cè)面，即證明題的“已知、求證”上給學(xué)生以支招，即由命題的題設(shè)、結(jié)論聯(lián)想某些定理，以配合圖形想象。

例：如圖，O1和O2相交于B、C兩點(diǎn)，AB是O1的直徑，AB、AC的延長(zhǎng)線分別交O2于D、E，過B作O1的切線交AE于F。求證：BF∥DE。

討論此題時(shí)，啟發(fā)學(xué)生由題設(shè)中的“AB是O的直徑”聯(lián)想定理“直徑所對(duì)的圓周角是90°”，因而連結(jié)BC；“過B作O的切線交AE于F”聯(lián)想定理“切線的性質(zhì)”，得出∠ABF＝90°。從而構(gòu)造出基本圖形②③。

由命題的結(jié)論“BF∥DE”聯(lián)想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構(gòu)造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④的性質(zhì)結(jié)合在一起，學(xué)生就易于思考了。

這一環(huán)節(jié)我們的引導(dǎo)語(yǔ)有：“由已知中的哪一個(gè)條件，你能聯(lián)想起什么定理？”、“條件組合后能構(gòu)成哪個(gè)定理？”、“有無(wú)對(duì)應(yīng)的基本圖形？”、“能否構(gòu)造出基本圖形？”等。目的是讓學(xué)生樹立起“圖形＋定理”的思考方法，把以前的無(wú)意識(shí)思考變成有目的、有意識(shí)的思考。

三、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

復(fù)習(xí)的效果最終要體現(xiàn)在學(xué)生身上，只有通過學(xué)生的自身實(shí)踐和領(lǐng)悟才是最佳復(fù)習(xí)途徑，因此在復(fù)習(xí)時(shí)，我們始終堅(jiān)持主體性原則。在組織復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性：提出問題讓學(xué)生想，設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生做，方法和規(guī)律讓學(xué)生體會(huì)，創(chuàng)造性的解答共同完善。

“沒有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認(rèn)為傳授方法或解答后讓學(xué)生進(jìn)行反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)總留出足夠的時(shí)間來讓學(xué)生進(jìn)行反思，使學(xué)生盡快形成一種解題思路、書寫方法。

集中講授能使學(xué)生對(duì)幾何定理的應(yīng)用有一定的認(rèn)識(shí)，但如果不加以鞏固，也會(huì)造成遺忘。因而我們也堅(jiān)持了滲透性原則，在平時(shí)的解題分析中時(shí)常有意識(shí)地引導(dǎo)、反復(fù)滲透。

篇（2）

一、一次函數(shù)型

給定一次函數(shù)y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內(nèi)恒有f（x）>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于

）或）可合并定成

同理，若在[m，n]內(nèi)恒有f（x）

例1：對(duì)于滿足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

解略

二、二次函數(shù)型

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，則有

若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。

例2：設(shè)f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。

分析：題目中要證明f（x）≥a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1，+∞）時(shí)恒大于0的問題。

解：設(shè)F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.

）當(dāng)Δ=4（a-1）（a+2）

）當(dāng)Δ=4（a-1）（a+2）≥0時(shí)由圖可得以下充要條件：

即得-3≤a≤-2；

綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。

三、變量分離型

若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。

例3：已知當(dāng)x∈R時(shí)，不等式a+cos2x

分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。

解：原不等式即：4sinx+cos2x

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

-a+5>3即>a+2

上式等價(jià)于

或

解得a

注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t，則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。

另解：a+cos2x

a+1-2sin2x

整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。

設(shè)f（t）= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1，

f（x）在[-1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。

只需f（1）>0，即>a-2.（下同）

四、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)

若函數(shù)f（x）是奇（偶）函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x ，f（-x）=-f（x）

（f（-x）=f（x））恒成立；若函數(shù)y=f（x）的周期為T，則對(duì)一切定義域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。

例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）為偶函數(shù)，求α的值。

分析：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當(dāng)于告訴我們一個(gè)恒成立問題。

解：由題得：f（-x）=f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，

sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α）

即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α）

2sinx?cosα=-2sinx?sinα

sinx（sinα+cosα）=0

對(duì)一切x∈R恒成立，只需也必須sinα+cosα=0。

α=k.（k∈Z）

五、直接根據(jù)圖象判斷

若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例5：當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

篇（3）

正弦定理指的是在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，用公式表示如下：（R為恒量，是該三角形外接圓的半徑），正弦定理適用于任何三角形。上述公式還可以變形如下：；；。正弦定理指出了任意三角形的邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式，簡(jiǎn)單來說就是任意三角形的邊角關(guān)系。

在實(shí)際應(yīng)用正弦定理解三角形時(shí)主要適用于如下兩種情況：一是已知三角形兩角與一邊，解三角形；二是已知三角形兩邊及其中一邊對(duì)應(yīng)的角，解三角形。正弦定理除了適用于以上兩種情況外，利用正弦定理我們可以在次數(shù)相等的基礎(chǔ)上將三角形所有的邊轉(zhuǎn)化為其對(duì)角的正弦值或者將對(duì)角正弦值轉(zhuǎn)化為其對(duì)應(yīng)的三角形的邊；可以得出新的三角形面積公式：；可以在已知三角形兩邊及其中一邊對(duì)角的時(shí)候，判斷滿足上述條件的三角形個(gè)數(shù)。舉例說明，已知三角形的兩條邊a、b和角A，1）若A為銳角：①a=bsinA，一個(gè)；②a<bsinA，沒有；③bsinA<a<b，兩個(gè)；④a≥b，一個(gè)。2）若A為直角或者鈍角：①a≤b，沒有；②a>b，一個(gè)。

2正弦定理的引入

在教學(xué)過程中引入正弦定理是一項(xiàng)重要的工作，這個(gè)過程的成功與否直接與學(xué)生后期的學(xué)習(xí)效果相關(guān)。具體在引入正弦定理時(shí)我們可以采用如下步驟進(jìn)行：情景設(shè)計(jì)——數(shù)學(xué)建模——猜想歸納得出正弦定理。

授課之初可以設(shè)定如下的情景：①某日我潛艇A發(fā)現(xiàn)其正東有一敵艇B正以35海里/小時(shí)的速度向正北方向航行。現(xiàn)已知魚雷速度為70海里/小時(shí)，問A潛艇應(yīng)以怎樣的角度發(fā)射才能擊中敵艇？②如果其他條件不變，B敵艇的行駛方向變?yōu)槌逼?5°航行，此時(shí)我方發(fā)射的角度又是多少？情景①學(xué)生可以利用初中所學(xué)的在直角三角形中30°的角所對(duì)的邊是斜邊的一半輕易解決；情景②則需要進(jìn)一步研究解決。

設(shè)定情景引發(fā)起學(xué)生的興趣和猜想之后就要引導(dǎo)學(xué)生向數(shù)學(xué)知識(shí)上靠攏，此時(shí)要啟發(fā)學(xué)生將要解決的問題通過數(shù)學(xué)建模的形式化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題。于是通過數(shù)學(xué)建模很輕易的知道這個(gè)問題就是解三角形的問題。隨即引導(dǎo)學(xué)生思考能否借助特殊的直角三角形解決一般三角形問題。

引導(dǎo)學(xué)生有特例到一般猜想歸納出正弦定理。在直角三角形中我們可以知道任意一條邊與其對(duì)角正弦值的比是常數(shù)，由此可以猜想是否在非直角三角形中也有如此規(guī)律。通過在任意銳角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行證明，驗(yàn)證正弦定理的普遍適用性。

3正弦定理的應(yīng)用

在解三角形時(shí)，如果能夠按照題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理，可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，優(yōu)化計(jì)算過程，提高解題的速度，具體的解題類型如下所示：

（1）解三角形問題

課本P4例題1：在三角形ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

【分析】在解答這道題時(shí)首要要明確解三角形的含義，解三角形就是根據(jù)已知的三角形各要素求剩余要素的過程。在本題中已知三角形的兩個(gè)角A、B以及邊a這三個(gè)要素，因此在本題求解的未知要素為角C以及邊b、c。

具體求解過程如下：

根據(jù)正弦定理；

根據(jù)正弦定理.

在本題解答過程中用到了三角形內(nèi)角和定理和正弦定理。一般來說，解三角形的習(xí)題中，三角形內(nèi)角和定理是普遍應(yīng)用到的。需要提示的是在解三角形時(shí)若最終結(jié)果出現(xiàn)兩個(gè)答案需要對(duì)其進(jìn)一步檢驗(yàn)，驗(yàn)證所得的兩個(gè)答案是否都滿足題意，這也是在考試過程中經(jīng)常出錯(cuò)的地方，學(xué)習(xí)過程中要提高捕獲題干隱含條件的能力。假設(shè)最終結(jié)果出現(xiàn)兩個(gè)c，此時(shí)要借助三角形固有的三條邊之間的關(guān)系，以及邊角關(guān)系，對(duì)兩個(gè)答案分別予以驗(yàn)證，如果都符合則全部留下，否則要放棄不合隱含條件的答案。

（2）實(shí)際應(yīng)用

利用正弦定理解決實(shí)際應(yīng)用問題，本質(zhì)上是通過將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，然后借助相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求解的過程，在這個(gè)過程中建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵。目前正弦定理的實(shí)際應(yīng)用問題主要解決距離、高度以及航行的問題。本文以測(cè)量距離為例予以闡述。

課本P12例題1：如圖1.2-1，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，∠BAC=51°∠ACB=75°求AB長(zhǎng)。

【分析】本題是關(guān)于實(shí)際生活中測(cè)量河兩岸點(diǎn)的距離的問題，如果實(shí)際解決的話很難找到合適的解決辦法，但是在與A同側(cè)設(shè)定點(diǎn)C，并借助相關(guān)工具測(cè)量得知∠BAC、∠ACB度數(shù)之后，就將實(shí)際距離問題轉(zhuǎn)變成了數(shù)學(xué)中的解三角問題。在本題中已知兩角一邊求另外一邊的長(zhǎng)度，借助正弦定理很容易解決該問題。

具體求解過程如下：

由正弦定理得，

答：A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米。

由上面的實(shí)際應(yīng)用正弦定理解三角形例子我們可以知道，在解決實(shí)際問題時(shí)，首先要學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，然后在計(jì)算過程中要善于挖掘隱含條件，利用已知求未知，多角度，多方面思考問題。當(dāng)在一個(gè)三角形中不能達(dá)到解決目的時(shí)要善于擴(kuò)大研究范圍，根據(jù)不同三角形之間的邊角關(guān)系最終解決問題。

4結(jié)論及建議

高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用正弦定理解三角形是高考的重點(diǎn)也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，關(guān)于如何更為有效的教與學(xué)，還需要更多的教育工作者共同努力。通過本文對(duì)高中數(shù)學(xué)解三角形相關(guān)解法的研究針對(duì)教學(xué)過程提出如下幾點(diǎn)建議：

篇（4）

隨著素質(zhì)教育的不斷深入發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生探究問題、解決問題的良好思維品質(zhì)顯得尤為重要。本文將“三重生態(tài)”理論中得到的啟發(fā)運(yùn)用在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，探析初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題的教學(xué)策略，從而達(dá)到提高教學(xué)有效性的目的。

一、“三重生態(tài)”理論的闡釋及對(duì)教學(xué)的啟發(fā)

在“三重生態(tài)”理論闡釋中，其主要包含三個(gè)動(dòng)態(tài)因素，即自然生態(tài)、類生態(tài)及內(nèi)生態(tài)。所謂自然生態(tài)就是維持每個(gè)人生存的物質(zhì)資料，是人們最基本的需求；所謂類生態(tài)就是人們生活和發(fā)展的社會(huì)環(huán)境，內(nèi)生態(tài)則指的是每個(gè)人內(nèi)心得以棲息的居所。專家認(rèn)為：每一個(gè)不同的生命體都處于三重生態(tài)的相互作用中。綜合來看，自然生態(tài)和類生態(tài)最終反映內(nèi)生態(tài)，并通過內(nèi)生態(tài)表現(xiàn)出來。其實(shí)，課堂教學(xué)也在三重生態(tài)關(guān)系的作用下呈現(xiàn)不同面貌，取得的教學(xué)效果也是各異的。

“三重生態(tài)”理論應(yīng)用于幾何數(shù)學(xué)則表現(xiàn)為用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看圖形的變化，具體特征為探索點(diǎn)、線段、面或幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律，這些元素在變化過程中相互轉(zhuǎn)化，最終實(shí)現(xiàn)有機(jī)統(tǒng)一，科學(xué)闡釋數(shù)學(xué)問題由“變”到“不變”、由特殊到一般及變繁為簡(jiǎn)的辯證法思想。這種理論涉及數(shù)學(xué)領(lǐng)域的概率論、幾何等眾多知識(shí)，并蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、有效轉(zhuǎn)化等極其重要的數(shù)學(xué)思想，因而此類問題更具綜合性和開放性。由于此類包含動(dòng)態(tài)思想的問題符合新課改的課程要求，因此數(shù)學(xué)問題中設(shè)置動(dòng)態(tài)問題是數(shù)學(xué)考試中考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重點(diǎn)。素質(zhì)教育崇尚學(xué)生自主性的發(fā)揮，上述提到的初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)態(tài)問題對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力提出較高要求。本文將以“三重生態(tài)”理論為基礎(chǔ)，多角度闡釋解決上述問題的科學(xué)方法，進(jìn)而研究這類問題的有效教學(xué)策略，有利于教師更好地找準(zhǔn)教學(xué)方向，也有利于培養(yǎng)學(xué)生較高的解題素養(yǎng)。

二、利用“三重生態(tài)”理論嘗試解決初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題的教學(xué)策略

從長(zhǎng)期課堂教學(xué)實(shí)際情況來看，學(xué)生對(duì)解決動(dòng)態(tài)性數(shù)學(xué)問題沒有比較成熟的思路，考試中這類題目的得分情況不是很樂觀。究其原因，主要有兩方面：一是此類題目本身難度系數(shù)較高，二是在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中“三重生態(tài)”理論沒有得到恰到好處地應(yīng)用，在師生中沒有產(chǎn)生良好的化學(xué)反應(yīng)。主要表現(xiàn)為以下方面。

1.自然生態(tài)元素作用不明顯。

數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)性問題重在描述題目中涉及的基本元素的變化和運(yùn)動(dòng)過程，為了讓學(xué)生能直觀清晰地理解各項(xiàng)元素的變化規(guī)律，我們需要在學(xué)生腦海中創(chuàng)設(shè)具體的情境。

2.類生態(tài)元素作用不明顯。

在解決動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問題的過程中，教師的教學(xué)通常會(huì)陷入一種固定的、單一的模式，即對(duì)學(xué)生的思想培養(yǎng)缺乏一定的關(guān)注，從而導(dǎo)致學(xué)生形成思維惰性，習(xí)慣按照同一種思維方式思考問題。長(zhǎng)此以往，如果學(xué)生接觸的題型種類有限，這種思維定勢(shì)將更明顯，當(dāng)遇到新題型時(shí)，思維轉(zhuǎn)換速度和敏感度都將急劇下降。尤其對(duì)于一些需用新方法解決的“舊問題“，學(xué)生通常會(huì)根據(jù)以往習(xí)慣和模式解決問題，以至于不能從根本上解決問題，并且懶于深究問題背后的原理。類生態(tài)元素未發(fā)揮良好作用是造成這種現(xiàn)象的主要原因，即學(xué)生并未用心體會(huì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律，也沒有認(rèn)真分析動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，從而只能按照既有經(jīng)驗(yàn)思考和解決問題。

3.內(nèi)生態(tài)因素作用不明顯。

內(nèi)生態(tài)因素主要表現(xiàn)為學(xué)生覺得所學(xué)內(nèi)容很有難度，且沒有實(shí)際意義。因?yàn)閷W(xué)生所做的習(xí)題往往是一大堆字母、圖形、數(shù)字的組合，很難讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，所以教師應(yīng)在設(shè)置題目時(shí)，選擇趣味性敘述方式，并盡量讓學(xué)生在解題中體會(huì)成就感，讓其意識(shí)到所學(xué)內(nèi)容是很有意義的。

三、如何解決上述問題

1.深入理解動(dòng)態(tài)型問題，發(fā)揮自然生態(tài)元素的作用。

盡管動(dòng)態(tài)型問題復(fù)雜多變，但有其自身規(guī)律，總結(jié)來看，主要有以下兩大規(guī)律。

（1）無(wú)變量條件：無(wú)變量元素的問題基本都是較簡(jiǎn)單的幾何問題，運(yùn)動(dòng)變化形式基本圍繞點(diǎn)、線、面展開，主要考察運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律性。例如，在解決直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或平行四邊形、等腰梯形等問題時(shí)，在無(wú)變量的前提下，解題方法都相對(duì)簡(jiǎn)單和固定，主要采用相似或全等等規(guī)律。

（2）有變量條件：如下圖：P在等邊三角形ABC的AC邊上運(yùn)動(dòng)，AC=6，P從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，Q是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，以同樣速度由B向CB方向運(yùn)動(dòng)，過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D。當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)。

此題主要運(yùn)用到直角三角形的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題目已有條件，易判斷出∠QPC是直角。根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，QC=2PC，設(shè)AP=x，則可以得出方程：6+x=2（6-x），解方程即可。可以看出引入變量元素后，題目變成綜合型。綜合型問題通常包含函數(shù)、幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因而難度系數(shù)較前者大，考生在解決此類問題時(shí)應(yīng)具備綜合型思維。

深入解讀題干要求，合理分析圖形，應(yīng)成為學(xué)生解決動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問題的必要步驟，這是對(duì)“三重生態(tài)”中自然生態(tài)元素的科學(xué)注解。在課堂教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生思考和分析題目要求，并從中探索出一般的規(guī)律性東西。學(xué)生需要重點(diǎn)理解的因素有：圖形中運(yùn)動(dòng)的元素、運(yùn)動(dòng)的特殊點(diǎn)，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)點(diǎn)的特殊運(yùn)動(dòng)過程。

2.引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解題思路和數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮類生態(tài)作用。

在具體指導(dǎo)學(xué)生時(shí)，要確保學(xué)生不但知其然，而且知其所以然，避免“背答案”。只有學(xué)生真正掌握解題思路和數(shù)學(xué)思想，才能徹底掌握這一題型。

如初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)型問題的解決需要學(xué)生提高內(nèi)在修養(yǎng)及思考問題和分析問題的能力，主要表現(xiàn)為“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論“兩方面的能力。根據(jù)這一特點(diǎn)，教師可多尋找一些需要運(yùn)用到這些能力的題目，開展針對(duì)性訓(xùn)練。

如下圖，在正方形ABCD中，AB長(zhǎng)度為6厘米，M點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)以單位速度沿直線向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)N也從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路線為AD―DC―CB，速度為6cm/s。設(shè)AMN的面積為y（cm■），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（？搖？搖？搖？搖）

許多學(xué)生見到這種問題就覺得無(wú)從下手，其實(shí)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”兩種方法是很容易解決這一問題的，由題目易知，從N點(diǎn)正好能走完折線AD―DC―CB，根據(jù)分類討論思想，可將AMN的面積計(jì)算情況分為，在AD、DC、CB三條線上的三種情況，并根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，寫出每種情況下AMN的面積計(jì)算公式，答案就呼之欲出了。

3.激發(fā)學(xué)生的求知欲望，發(fā)揮內(nèi)生態(tài)元素作用。

教師要善于創(chuàng)設(shè)情境，將學(xué)生帶入情境，使他們感受到動(dòng)態(tài)問題是生活中普遍存在的問題，是能夠解決具體問題的。

如這道題我用兩個(gè)小蟲子代替P、Q點(diǎn)，這道題立馬變得有意思：兩個(gè)小蟲子小P和小Q同時(shí)發(fā)現(xiàn)了A點(diǎn)的實(shí)物，此時(shí)，他們與食物的位置呈三角形ABC，小P離食物的距離是20cm，小Q離食物的距離是12cm，已知小P的速度是3cm，小Q的速度是2cm，請(qǐng)問兩個(gè)小蟲子立即沿最短路徑奔向食物，問：小P和小Q何時(shí)與食物成等腰三角形。

這樣做的好處是，一方面使得整個(gè)題目令學(xué)生眼前一亮，解題過程變得趣味化，能夠更好地吸引學(xué)生的注意力。另一方面使得學(xué)生意識(shí)到所學(xué)的內(nèi)容是能夠解決具體問題的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

綜上所述，課堂教學(xué)活動(dòng)應(yīng)將激發(fā)學(xué)生的內(nèi)心感受作為重要考量，而不是單純地說教。“三重生態(tài)”理論中內(nèi)生態(tài)元素是其他兩種元素的落腳點(diǎn)和歸宿點(diǎn)，意味著任何形式的教學(xué)活動(dòng)最后都是以服務(wù)學(xué)生、開發(fā)學(xué)生潛能、培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的優(yōu)秀學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)的。長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐使我深深明白教師擔(dān)負(fù)的職責(zé)是多么重大，使學(xué)生充分參與教學(xué)活動(dòng)并獲得前所未有的獨(dú)特體驗(yàn)是多么任重而道遠(yuǎn)。

篇（5）

中圖分類號(hào):O158文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671-7597(2009)1120178-01

離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科,大多高校在計(jì)算機(jī)專業(yè)和信息專業(yè)開設(shè)離散數(shù)學(xué)課程,該課程是許多計(jì)算機(jī)專業(yè)課,如《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》、《操作系統(tǒng)》、《數(shù)據(jù)庫(kù)原理和人工智能》、《編譯原理》等課的必備基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)課程重視基本概念、基本理論的講授與基本方法、基本運(yùn)算技能的訓(xùn)練,著重培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理和用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力。內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四個(gè)方面,內(nèi)容繁雜,覆蓋面廣,教學(xué)課時(shí)又不太多,并且概念多,理論性強(qiáng),高度抽象,所以,怎樣幫助學(xué)生從繁雜的知識(shí)中找出最重要最根本的內(nèi)容,并在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)讓學(xué)生正確理解,通過練習(xí)會(huì)熟練應(yīng)用,以達(dá)到基本掌握離散數(shù)學(xué)的目的,是該課程教學(xué)的難點(diǎn),也是師生普遍關(guān)心和值得探討的重要問題。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐,對(duì)課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段和考核方式等方面進(jìn)行了探索和研究。

一、根據(jù)人才培養(yǎng)目標(biāo)設(shè)計(jì)《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容

應(yīng)根據(jù)不同辦學(xué)層次,專業(yè)背景和人才培養(yǎng)目標(biāo)構(gòu)建離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方案,這是整個(gè)一門課程的設(shè)計(jì),依據(jù)就是不同專業(yè)方向的教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)。數(shù)學(xué)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容重在離散數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)理論,計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)本科教育可以分為科學(xué)型(計(jì)算機(jī)科學(xué))、工程型(計(jì)算機(jī)工程)和應(yīng)用型(信息技術(shù))三種類型,不同類型可以設(shè)計(jì)不同的知識(shí)單元,對(duì)離散數(shù)學(xué)諸多內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)取舍。

二、教學(xué)方法探索

(一)多渠道培養(yǎng)學(xué)生興趣。興趣是最好的老師,如果學(xué)生沒有學(xué)習(xí)興趣,就談不上有學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性,是不可能真正學(xué)好一門課程,培養(yǎng)興趣可以嘗試以下幾種途徑:

1.抓住開頭,激發(fā)求知欲。俗話說“良好的開端是成功的一半”,一方面,要注重開好這門課的頭,第一節(jié)課進(jìn)入理論知識(shí)講授之前,可以通過實(shí)際例子,例如“理發(fā)師悖論”、“哥底斯堡七橋問題”‘“四色問題”等說明離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用,另一方面,每節(jié)課采用多種方式靈活的開場(chǎng)白,如以知識(shí)來源、背景開始,或以實(shí)際問題引入,或以邏輯游戲提問,或以前述章節(jié)知識(shí)的延伸開始等。

2.理論聯(lián)系實(shí)際,培養(yǎng)興趣。在教學(xué)中隨時(shí)把具體內(nèi)容和學(xué)生的專業(yè)課相聯(lián)系,如利用布爾代數(shù)研究開關(guān)電路而建立一門完整的數(shù)字邏輯的理論,對(duì)計(jì)算機(jī)的邏輯設(shè)計(jì)起了很大作用;圖論中的平面圖、樹的研究對(duì)集成電路的布線、網(wǎng)絡(luò)信息流量的分析有很大的理論指導(dǎo)作用。

(二)重質(zhì)疑強(qiáng)調(diào)啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)式教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生自主創(chuàng)新能力的重要手段,啟發(fā)式教學(xué)的過程中,如何激發(fā)學(xué)生對(duì)問題的深入理解,刺激他們的求知欲是最關(guān)鍵的,有多種啟發(fā)教育模式,如對(duì)比啟發(fā)、反例啟發(fā)、設(shè)疑啟發(fā)、實(shí)例啟發(fā)等。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在記憶、應(yīng)用極大項(xiàng)與極小項(xiàng)的性質(zhì)時(shí)經(jīng)常出問題,掌握不清楚,甚至把常用的記號(hào)都記錯(cuò)了,于是將他們寫在一起,利用各自成真賦值、成假賦值與記號(hào)下標(biāo)的關(guān)系,通過對(duì)比找出二者的規(guī)律,方便學(xué)生記憶。在講授條件聯(lián)結(jié)詞的真值時(shí),我通常舉下述容易理解的例子消除學(xué)生的模糊性觀點(diǎn):爸爸說:“如果你期末考試得了全班第一名,我將給你買臺(tái)電腦作獎(jiǎng)勵(lì)。”那么只有當(dāng)孩子考了第一名但是爸爸沒有給他買電腦時(shí),才說明爸爸沒有兌現(xiàn)諾言。這樣,當(dāng)條件聯(lián)結(jié)詞前件為假,不管后件是真還是假,條件式均為真。

三、教學(xué)手段多樣化

(一)章節(jié)總結(jié),精選習(xí)題,舉一反三。每章結(jié)束后,安排習(xí)題課很必要,教師進(jìn)行系統(tǒng)的章節(jié)總結(jié),學(xué)生通過教師有條理的總結(jié)回顧本章內(nèi)容,搞清所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。選擇習(xí)題時(shí)要選至少能說明一個(gè)或多個(gè)重點(diǎn)問題的題目,且難度適中,講解時(shí)提倡一題多解,啟迪思路,同時(shí)歸納做題規(guī)律和技巧,例如在講解命題邏輯中判斷推理是否正確時(shí),可以采用真值表法、等值演算法和主析取范式法,學(xué)生通過練習(xí),就可以體會(huì)各種方法的優(yōu)缺點(diǎn),總結(jié)出什么樣的推理用什么樣的方法判斷更簡(jiǎn)捷和方便。另外,根據(jù)學(xué)生的接受能力適當(dāng)選取一些教材以外的題目,開拓思路。

(二)增加實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)。離散數(shù)學(xué)有注重應(yīng)用的一面,筆者認(rèn)為可以利用上課時(shí)間介紹一些基本理論和方法,讓學(xué)生在課后自由上機(jī)完成實(shí)驗(yàn),進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)關(guān)鍵是怎樣合理設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)題目。

(三)多媒體與傳統(tǒng)教學(xué)手段優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。多媒體教學(xué)的引入,改變了“一支粉筆,一塊黑板和一本教科書”的傳統(tǒng)教學(xué)模式,教師充分節(jié)約了板書時(shí)間,有充分的時(shí)間解釋概念和分析證明思路,還可以組織學(xué)生討論,加深對(duì)知識(shí)重難點(diǎn)的理解,課后學(xué)生從老師那里獲得課件進(jìn)行知識(shí)鞏固的時(shí)候,有利于課堂場(chǎng)景的重現(xiàn),更加深印象。但是教學(xué)也不能僅僅依賴于多媒體,由于信息量增大加上有些推理的過程很需要詳加推導(dǎo)和解釋,所以要把多媒體教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)結(jié)合起來,優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),概念、定理、例題采用多媒體演示,而需要推導(dǎo)或課件上步驟有跳躍的地方采用板書形式。

四、考核方式改革研究

傳統(tǒng)的考核方式是試卷考試,考察學(xué)生基本概念、基本知識(shí)和基本技能的掌握以及解決綜合問題的能力,筆者建議可以嘗試采取試卷考試、平時(shí)考核和撰寫離散數(shù)學(xué)論文三部分成績(jī)有機(jī)結(jié)合的考核形式,老師大致指定論文范圍,由學(xué)生在范圍內(nèi)自由選題,這種方式一方面使得學(xué)生加深了對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,另一方面在查閱資料的過程中學(xué)到了不少在教材中沒有的知識(shí)。

五、結(jié)束語(yǔ)

離散數(shù)學(xué)課程有益于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力,為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),教與學(xué)是一個(gè)互動(dòng)的過程,提高教學(xué)效果需要在實(shí)踐中不斷探索,不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn),在教學(xué)中宜根據(jù)學(xué)生個(gè)體差異因材施教。如何確定教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方法、豐富教學(xué)手段、完善考核方式、加強(qiáng)實(shí)踐應(yīng)用,如何提高該課程的教學(xué)質(zhì)量,這仍是今后教學(xué)實(shí)踐中需要不斷研究和探索的重要課題。

參考文獻(xiàn):

篇（6）

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師精心設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)問題，是一門創(chuàng)造性的藝術(shù)． “問題”是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能、全面發(fā)展的主要源泉． 課堂教學(xué)就是“問題”的教學(xué)，在高三二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些在解題思想或者解題方法上非常典型的問題，其實(shí)對(duì)于這些問題的教學(xué)，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為“年年歲歲花相似”，復(fù)習(xí)時(shí)老是炒冷飯，還要看到“歲歲年年人不同”，必須不斷發(fā)現(xiàn)問題，有所改進(jìn)和創(chuàng)新． 這樣在二輪復(fù)習(xí)中才能讓學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)更加堅(jiān)實(shí)，綜合能力得到進(jìn)一步的提高．

異題同解實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)

異題同解簡(jiǎn)單地講，就是在教學(xué)中將在解法上相同或者相近的一系列問題歸納在一起，對(duì)照分析后達(dá)到鞏固和提高的目的． 從歷年高三二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的實(shí)際教學(xué)的效果來看，這種方法尤其對(duì)于基礎(chǔ)不太好的學(xué)生，甚至是基礎(chǔ)中等的學(xué)生而言，都有著可以較好地夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題的能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的功能．

例1 將函數(shù)f（x）=－的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，求所得圖象的函數(shù)表達(dá)式；

2． 作出函數(shù)f（x）=的圖象；

3． 求函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間；

4． 求函數(shù)f（x）=log2的單調(diào)遞增區(qū)間；

5． 討論函數(shù)f（x）=a≠在（－2，+∞）上的單調(diào)性．

解：1． 將函數(shù)f（x）=－中的x換成x+1，y換成y-1得

f（x）－1=－?圯f（x）=1－?圯f（x）=．

2． 函數(shù)f（x）==1－，它是由函數(shù)f（x）=－的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的． 圖象為：

圖1

3． 由圖象知函數(shù)f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間為：（－∞，－1），（－1，+∞）．

4． 由>0?圯x>1或x

5． f（x）==a+a≠，由f（x）的圖象知，當(dāng)a>時(shí)在（－2，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a

從上面的幾道題的問題設(shè)計(jì)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)“問題”雖然不同，但基本方法一致，它們?cè)从陔p基，通過解決問題又強(qiáng)化了雙基，讓學(xué)生在不斷提出問題、解決問題的流程中扎實(shí)雙基，并認(rèn)識(shí)夯實(shí)雙基的重要性． 從而在高三二輪復(fù)習(xí)中我們?cè)谡n堂教學(xué)中要清醒地認(rèn)識(shí)到“問題”設(shè)計(jì)的導(dǎo)向性就是要強(qiáng)化“雙基”，突出重點(diǎn)． 強(qiáng)化“雙基”，夯實(shí)基礎(chǔ)是教學(xué)工作的基本原則． 只有這樣，才能達(dá)到課堂的有效性．

同題多解促進(jìn)思維的滲透

在一些公開課中，我們常常看到開課教師在課堂上對(duì)典型例題進(jìn)行“同題多解”，動(dòng)輒就是五六種方法，甚至還會(huì)更多，成為教師的“表演秀”，但學(xué)生究竟掌握了多少，是要打問號(hào)的． “同題多解”在教學(xué)中是否必要存在有很大的爭(zhēng)論，畢竟在測(cè)試中，學(xué)生只要用最短的時(shí)間得到題目的答案就可以了，但考慮到“同題多解”是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一種有效的方法，同時(shí)從不同角度看問題，也可以發(fā)現(xiàn)某些常見錯(cuò)誤，提供了一種常見的檢驗(yàn)的方法． “最基本的才是最重要的”． 筆者在教學(xué)中對(duì)于這樣一類問題設(shè)計(jì)時(shí)，通常要求幾種方法在技巧性上的要求不能太高，力求能夠還原到基本概念，或者根據(jù)學(xué)生的思路，因勢(shì)利導(dǎo)，絕不為了“同題多解”而“同題多解”．

例2 設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足f（x－2）=f（－x－2），且函數(shù)圖象y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，求f（x）的解析式．

解法一：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

由f（x－2）=f（－x－2）得4a－b=0．

又x1-x2==2，所以b2－4ac=8a2．

由題意可知c=1． 解之得f（x）=x2+2x+1．

解法二：f（x－2）=f（－x－2），

故函數(shù)y=f（x）的圖象有對(duì)稱軸x= －2，可設(shè)y=a（x+2）2+k．

因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸上的截距為1，則4a+k=1．

又被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，則x1-x2==2，

整理得2a+k=0，

解之得a=，k=－1，f（x）=x2+2x+1．

解法三：f（x－2）=f（－x－2）

故函數(shù)y=f（x）的圖象有對(duì)稱軸x= －2，又x1-x2=2，

所以y=f（x）與x軸的交點(diǎn)為：（－2－，0），（－2+，0），

所以故可設(shè)y=a（x+2+）（x+2－），

所以f（0）=1，a=，

所以f（x）=x2+2x+1．

從總體來講，三種方法在技巧性上要求不高，學(xué)生容易掌握，第一種體現(xiàn)了待定系數(shù)化歸的常見數(shù)學(xué)思想；第二種方法將對(duì)稱轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸問題，是一種通法；第三種方法起點(diǎn)低，但思維量比較大，采用交點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式來解決問題． 在求二次函數(shù)的解析式時(shí)三種方法都是常用方法，可以融會(huì)貫通，促進(jìn)思維的滲透．

篇（7）

2.數(shù)學(xué)建模教學(xué)是應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)的有效途徑

3.將數(shù)學(xué)建模思想融入應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)教學(xué)初探

4.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程改革的探討

5.以數(shù)學(xué)建模為突破口,促進(jìn)應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)課程改革 

6.淺談國(guó)內(nèi)外本科數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課的實(shí)踐教學(xué)

7.獨(dú)立學(xué)院工科類本科數(shù)學(xué)教學(xué)淺談

8.應(yīng)對(duì)基礎(chǔ)教育課程改革的新疆高師本科數(shù)學(xué)專業(yè)課程設(shè)置策略

9.本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革與實(shí)踐 

10.基于大眾數(shù)學(xué)理念的中職起點(diǎn)本科數(shù)學(xué)改革

11.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)教師教學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)與思考  

12.應(yīng)用型本科大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)定位分析 

13.河南高師本科數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生就業(yè)形勢(shì)及對(duì)策

14.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)類專業(yè)職業(yè)技能培養(yǎng)研究  

15.新課標(biāo)體系下高師本科數(shù)學(xué)分析教學(xué)所面臨的問題和所采取的措施

16.應(yīng)用型本科高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)建設(shè)的探索與實(shí)踐 

17.工程教育模式下本科數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的探索 

18.應(yīng)用型本科人才的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)教育的研究與實(shí)踐

19.基于高中課改形勢(shì)下的地方本科院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革 

20.將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程

21.本科數(shù)學(xué)教學(xué)與強(qiáng)化素質(zhì)教育研究  

22.“問題驅(qū)動(dòng)法”在新建應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 

23.對(duì)本科數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考與對(duì)策 

24.應(yīng)用型本科工科數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀與教學(xué)改革探析 

25.應(yīng)用型本科大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)定位分析

26.以就業(yè)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

27.淺談工科本科數(shù)學(xué)教育改革 

28.獨(dú)立學(xué)院實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)教學(xué)的研究

29.新建地方院校金融數(shù)學(xué)專業(yè)本科人才培養(yǎng)探討

30.對(duì)地方本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的探索與實(shí)踐

31.普通本科院校文科數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的對(duì)策探究 

32.新建本科院校本科《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)狀況調(diào)查報(bào)告

33.“以學(xué)生為中心”的本科數(shù)學(xué)教學(xué)范式研究

34.應(yīng)用型本科高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究

35.新建本科院校特色專業(yè)建設(shè)與改革探索——以凱里學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)省級(jí)特色專業(yè)為例

36.應(yīng)用型本科大學(xué)數(shù)學(xué)課程考試模式研究

37.民辦應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)課程改革初探

38.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程群建設(shè)的探討

39.應(yīng)用本科院校高等數(shù)學(xué)走班制分層次教學(xué)探究——以河南科技學(xué)院為例

40.本科數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)提倡“研究性學(xué)習(xí)” 

41.民辦本科《數(shù)學(xué)分析》課程的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) 

42.構(gòu)建高師小學(xué)教育本科專業(yè)數(shù)學(xué)類課程的若干思考 

43.高校應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)建模隊(duì)員培訓(xùn)與選拔方式的探析

44.應(yīng)用教學(xué)型本科數(shù)學(xué)實(shí)踐課程教學(xué)模式探討 

45.新升本科數(shù)學(xué)專業(yè)(師范)課程設(shè)置的特點(diǎn)與啟示 

46.新建本科院校文科數(shù)學(xué)教育的問題與對(duì)策研究 

47.工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求 

48.高師本科數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的研究與實(shí)踐

49.應(yīng)用型本科高校金融數(shù)學(xué)專業(yè)建設(shè)的思考 

50.本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革的探討  

51.本科數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課程教學(xué)改革初探——“推拉”教學(xué)法的嘗試

52.應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)與創(chuàng)新

53.應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革 

54.大學(xué)本科數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視的幾個(gè)問題 

55.論本科小學(xué)數(shù)學(xué)教師教育課程的整合 

56.地方本科院校公共數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革與實(shí)踐 

57.應(yīng)用型計(jì)算機(jī)本科中離散數(shù)學(xué)課程目標(biāo)定位與課程改革的探討 

58.應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)定位與課程設(shè)置研究 

59.數(shù)學(xué)建模在應(yīng)用型本科人才培養(yǎng)中的實(shí)踐與探索

60.應(yīng)用型本科高等數(shù)學(xué)教學(xué)與“CDIO”教學(xué)改革初探 

61.應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題與改革策略 

62.新建本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)離散數(shù)學(xué)教學(xué)研究 

63.本科層次小學(xué)教育專業(yè)數(shù)學(xué)課程設(shè)置的本源性分析 

64.農(nóng)林本科數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀與存在問題分析 

65.提高一般本科院校學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性初探 

66.數(shù)學(xué)建模思想融入應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的途徑

67.應(yīng)用型本科高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的探究  

68.山東省高師專科升本科《數(shù)學(xué)分析》試題的研討 

69.一般本科院校《大學(xué)數(shù)學(xué)》教學(xué)現(xiàn)狀分析與改革思路研討

70.關(guān)于提高數(shù)學(xué)類專業(yè)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量的研究

71.西藏高校數(shù)學(xué)類本科專業(yè)設(shè)置及課程體系建設(shè)研究——以西藏大學(xué)為例 

72.整合數(shù)學(xué)類課程,提高小學(xué)教育專業(yè)本科學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

73.理工科院校數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生就業(yè)初探 

74.應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程現(xiàn)狀與對(duì)策 

75.工程應(yīng)用型本科類高校數(shù)學(xué)通識(shí)課現(xiàn)狀分析及其改革途徑探討

76.應(yīng)用型本科院校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索 

77.新建本科高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索與實(shí)踐 

78.地方本科院校擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽受益面的探索 

79.新升本科院校數(shù)學(xué)分析教學(xué)的幾點(diǎn)思考  

80.本科院校數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室管理研究  

81.大學(xué)本科經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀及相關(guān)思考  

82.應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革 

83.應(yīng)用技術(shù)型本科院校高等數(shù)學(xué)教材的建設(shè)模式研究與實(shí)踐 

84.工程數(shù)學(xué)教學(xué)如何適應(yīng)技術(shù)應(yīng)用型本科教育  

85.新建本科院校安全工程專業(yè)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探討 

86.關(guān)于國(guó)外高校經(jīng)濟(jì)學(xué)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程設(shè)置的探討 

87.四年制高職本科高等數(shù)學(xué)課程體系的研究

88.概率統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用——以2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(本科組)A題為例 

89.高等數(shù)學(xué)思想在本科畢業(yè)設(shè)計(jì)中的運(yùn)用研究 

90.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)改革探索

91.新建本科院校考研數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀與策略研究 

92.應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)若干問題的思考

93.數(shù)學(xué)史:探求真理的“心”路歷程——大學(xué)本科數(shù)學(xué)史教材改革初探 

94.地方本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程群建設(shè)的理論與實(shí)踐  

95.應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究

96.“產(chǎn)學(xué)研”合作視域下高校實(shí)踐教學(xué)體系的構(gòu)建——以宿州學(xué)院數(shù)學(xué)類本科專業(yè)為例 

97.與時(shí)俱進(jìn)構(gòu)建人才培養(yǎng)新模式——東華理工學(xué)院《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科人才培養(yǎng)計(jì)劃(06版)》解讀 

98.地方一般本科院校數(shù)學(xué)建模活動(dòng)推廣模式探討 

99.本科小學(xué)教育專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)研究 

100.新建本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)踐教學(xué)體系探索 

101.應(yīng)用型本科高校大學(xué)數(shù)學(xué)分層次教學(xué)改革探討 

102.基于職業(yè)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程構(gòu)建——以高職本科分段鐵道供電專業(yè)為例 

103.大學(xué)本科數(shù)學(xué)考試模式改革探索與思考  

104.淺論下輪工科本科數(shù)學(xué)教材編寫的原則 

105.應(yīng)用型本科院校中高等數(shù)學(xué)教學(xué)體會(huì)  

106.應(yīng)用型本科數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革探索 

107.應(yīng)用型本科高校高等數(shù)學(xué)課程優(yōu)化教學(xué)新探 

108.應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與建設(shè)探索——以銀川能源學(xué)院為例 

109.高等本科院校學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查與分析

110.本科院校工科高等數(shù)學(xué)軟件實(shí)驗(yàn)的改革 

111.河南省高師數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生就業(yè)探微

112.新建本科院校高等數(shù)學(xué)課程中實(shí)施分層教學(xué)的探索——以安陽(yáng)師范學(xué)院為例