七年級數學科總結大全11篇

緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇七年級數學科總結范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

    一、提供生活化的數學內容讓學生樂學。

    《數學課程標準》指出，數學教學要緊密聯系學生的生活環境，從學生已有的經驗和知識出發，創設有助于學生自主學習，與學生生活環境，知識背景密切相關的，又是學生感興趣的學習情境，讓學生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數學知識的產生形成與發展的過程，獲得積極的情感體驗，感受數學的力量，同時，掌握必要的基礎知識與基本技能。

    二、組織富有探索性的實踐活動使學生愿學。

    動手實踐，自主探索與合作交流是學習數學的重要方式，由于學生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，學生的數學學習活動應該是一個生動活潑的，積極主動的和富有挑戰性的過程。因此，在課堂中我盡量讓學生自己去學習。

    三、創設具有挑戰性的問題情境誘導學生好學。

    數學是人類的一種文化，它的內容、思想和語言是現代文明的重要組織部分。在小學數學教學過程中，我們應充分發揮數學的形象性、趣味性、藝術性、積極創設問題情境，渲染氣氛，誘發學生的積極情感和強烈的求知欲望、引導學生進行自主探索。

    四、在評價的激勵中使誘導學生想學。

    評價的目的是為了促進每一個學生的全面發展，應為學生的學習活動和老師的教學活動提供自主的空間，評價具有激勵、調控、導向功能，但不恰當的評價也會抑制誤導的不良作用。因此，一種恰當的評價策略對引導學生的情意發展至關重要。

    新課程中教師的角色地位不斷變換，經歷了“主宰者——主導者——平等中的首席”的變遷過程，新課堂中，師生的精神上，人格上是平等的。平等對話中核心理念就是：正確對待自我，學生欣賞別人，獲得全面發展。主要有：

    1、同伴交流——自由交流    

    2、師生之間——平等交流

    3、師生與活動之間——雙向交流 

篇（2）

這學期我擔任了一年級和四年級數學課的教學工作。我對教學工作不敢怠慢,認真學習,深入研究教法,虛心向學校教師學習.立足現在,放眼未來,為使今后的工作取得更大的進步,現對本學期教學工作作出總結：

一、成績分析

一年級參考人數：30、及格率100% 、優秀人數：28、優秀率93.3%、平均成績：92.7、學區排名：7

四年級參考人數：31、及格率77.4% 、優秀人數：15、優秀率48.4%、平均成績：71.53、學區排名：7

一年級和四年級各有學生32名，絕大部分上課能夠專心聽講，積極思考并回答老師提出的問題，下課能夠按要求完成作業，具有良好的學習習慣。但是也有一部分學生的學習習慣較差，有的上課精力不集中，思想經常開小差，紀律性不強。老師布置的作業經常完不成，以致學習成績較差。

二、各項目標達到程度

1．認識計數單位“一”和“十”，初步理解個位、十位上的數表示的意義，能夠熟練地數100以內的數，會讀寫100以內的數，掌握100以內的數是由幾個十和幾個一組成的，掌握100以內數的順序，會比較100以內數的大小。會用100以內的數表示日常生活中的事物，并會進行簡單的估計和交流。

2．能夠比較熟練地計算20以內的退位減法，會計算100以內兩位數加、減一位數和整數，經歷與他人交流各自算法的過程，會用加、減法計算知識解決一些簡單的實際問題。

3．經歷從生活中發現并提出問題、解決問題的過程，體驗數學與日常生活的密切聯系，感受數學在日常生活中的作用。

4．會用上、下、前、后、左、右描述物體的相對位置；能用自己的語言描述長方形、正方形邊的特征，初步感知所學的圖形之間的關系。

5．認識人民幣單位元、角、分，知道1元=10角，1角=10分；知道愛護人民幣。

6．會讀、寫幾時幾分，知道1時=60分，知道珍惜時間。

7．會探索給定圖形或數的排列中的簡單規律，初步形成發現和欣賞數學美的意識。

8．初步體驗數據的收集、整理、描述、分析的過程，會用簡單的方法收集、整理數據，初步認識條形統計圖和統計表，能根據統計圖表中的數據提出并回答簡單的問題。

9.認識并會讀、會寫小數；認識三角形的角、內角和、三角形的邊、三角形按角分類、按邊分類、三角形任意兩邊之和太于第三邊；小數的加減法；四則運算；位置與方向；運算定律與簡便計算；統計。課中，我認真研究教材、教學用書、力圖吃透教材，找準重、難點，上課時力圖抓住重點，打破難點。從學生實踐動身，留意調動學生學習的積極性和發明性思想。

10．體會學習數學的樂趣，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心。

11．養成認真作業、書寫整潔的良好習慣。

12．通過實踐活動體驗數學與日常生活的密切聯系。

三、本學期的收獲和經驗

1．認真鉆研教材、精心備課，充分利用直觀、電化教學，把難點分到各個層次中去，調動學生學習的積極性。

2．針對學生的差異和年齡特點，對學生進行了各方面的教育，使學生的知識、能力有了較大提高。

3．本學期我對學生注重加強了思想教育，培養了良好的學習習慣，培養自我檢查的能力。

4．使學生學好數學知識，在教學中重點做到精講多練，重視運用教具、學具和電化教學手段。認真備好每一節課。

5．加強了對后進生的輔導，使本學期大部分學生掌握了知識、技能，他們的學習有了不同程度的進步和提高。

6．通過練習課的精心設計，使學生掌握知識，形成技能，發展智力。所以我認真上好練習課，講究練習方式，提高練習效率。

7．注重專題研究，積極參加學校組織的教學教研活動，認真組織好練習和復習，努力提高教育、教學質量。

8．重視了與家庭教育相配合，通過家訪、家長會等不同方式，與家長密切聯系，對個別學生的教育著重放在學生非智力因素的挖掘上，使他們有了明顯的進步和提高。

9．注重培養了學生的學生習慣，針對這一方面，本學期重點抓了學生，每做一件事情，每做一道題，要求學生要有耐心，培養了認真做好每一件事的好習慣。

10．通過一些活動，統計、數據等對學生進行了愛國教育，是學生有了為祖國為中華民族努力學習的精神。

存在的不足之處：一部分學生對學習的目的不夠明確，學習態度不夠端正。上課聽講不認真，家庭作業經常完不成；有些家長對孩子的學習不夠重視，主要表現在：學生家庭的不配合，造成了學習差；還有一部分是，反映問題慢，基礎太差，是造成了不及格現象。

四、下學期教學設想

針對本學期在教學工作中存在的問題和不足，在今后的工作中著重抓好以下幾點：

1．結合教材的內容，老師要精心備課，面向全體學生教學，抓牢基礎知識,搞好思想教育工作。精心上好每一節課，虛心向老教師學習，不斷提高自身的業務水平。注重學生各種能力的培養和知識應用的靈活性。特別注重學習習慣的培養，以激發學生學習的興趣，提高他們的學習成績,自己還要不斷學習，不斷提高自身的業務素質。

2．及時輔導落后生，抓住他們的閃光點，鼓勵其進步。注重學生各種能力和習慣的培養。

3．充分利用直觀、電化教學，把難點分到各個層次中去，調動學生學習的積極性。對學生進行強化訓練，爭取教出更好的成績。

4．充分利用數學教材，挖掘教材的趣味性，以數學知識本身的魅力去吸引學生、感染學生。

篇（3）

1、做到期初有計劃，有教學進度，使教學工作能有條不紊地順利進行下去；由于教學計劃安排的比較好，所以并沒有給工作帶來影響，反而在一定程度上有利于教學工作的進行，使得大量電腦理論知識得于傳授給學生。

2、按照學校工作管理規定，認真備好課，寫好教案，努力上好每一節課。電腦科學校安排的課時比較少（一周每班二節）這對于學生來講的很重要的二節課；對老師來講是比較難上的二節課。所以才能上好每節課對老師對學生都是很關鍵的。除了備好課、寫好教案外，我還要查閱各種資料，能上因特網時還上網尋找好的教學材料，教學課件，把它們和我所從事的工作結合起來，為我所用。

3、學生方面：在轉差促優上，注意在教學中或教學之余以各種形式對學生進行思想教育，轉化差生，促進他們的發展。

4、個人提高方面：在教學之余，我也注重自身發展進步。除了聽課，評課，參加教研組教研活動外，我還注意到要自學。從思想上，利用業余時間端正自己；從行動上學知識，學電腦技術，學教學技能等；在生活上注意形象，為人師表。作為教師教學工作是主要的，但除了教學工作外，我也積極參加學校組織其它活動如：政治理論學習、業務學習等。

5、認真進行課后寫教學案例和教學博客。新學期開始到現在共發表了30余篇博文2萬多字。

6、興趣班方面堅持每周給學生們講述新知識，復習舊知識點。經過這些方面的鍛煉，自己的flash動畫制作方面和photoshop-cs2圖像處理方面有了很大的進步。

二、德育滲透方面

1、通過對本冊書的學習，在學習當中，不要忘記對學生的德育滲透。在學習過程中，培養學生熱愛祖國，樹立愛國主義和集體主義觀念，樹立遠大的理想，從自身做起、從小事做起，多給集體爭光添彩；以祖國的信息技術發展而自豪；培養學生創新思維，重視培養學生對軟件方面的學習能力和獲取新知識分析和解決問題的能力。

2、自身方面，認真按照教師職業道德水平要求自己，上課做到不用尖刻的語言辱罵、訓斥、諷刺、挖苦學生。愛護學生，尊重學生人格，對學生既嚴格要求，又耐心指導，使學生生動活潑、積極主動地發展。

三、微機室及多媒體教師管理方面

1、本學期，嚴格按照學校的規定，微機室完成了教學和使用任務，多媒體教室按照規定的每周使用率20節以上，并且組織學生在多媒體室進行全國計算機等級考試一級b培訓。

2、及時進行設備的維護。好的設備必須進行及時的維護，出現問題后馬上進行檢修。不讓機器耽誤學生使用和教學。

3、認真打掃兩個教室的衛生。每天進行拖地掃地。保持良好的衛生環境，讓學生和老師有一個良好的學習和備課環境。

4、堅持按照學校的要求進行工作。每天下班進行設備的檢查和用電方面的檢查。是否關閉了電源和門窗。 《1》

5、多媒體室的使用嚴格按照規章制度來完成，合理安排每天的教師上課時使用多媒體室的時間。教師上完課及時進行衛生的打掃。定期進行設備的維護。

四、存在的不足

1、對差生多些關心，多點愛心，再多一些耐心，使他們在對計算機的認識上有更大進步。

篇（4）

（3分）

1、實數的分類

正有理數

有理數

零

有限小數和無限循環小數

實數

負有理數

正無理數

無理數

無限不循環小數

負無理數

整數包括正整數、零、負整數。

正整數又叫自然數。

正整數、零、負整數、正分數、負分數統稱為有理數。

2、無理數

在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一點，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數，如等；

（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如+8等；

（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數，如sin60o等（這類在初三會出現）

考點二、實數的倒數、相反數和絕對值

1、相反數

實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、絕對值

一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

3、倒數

如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

考點三、平方根、算數平方根和立方根

1、平方根

如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。

正數a的平方根記做“”。

2、算術平方根

正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。

正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

（0）

；注意的雙重非負性：

-（

3、立方根

如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫做a

的立方根（或a

的三次方根）。

一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。

注意：，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

考點四、科學記數法和近似數

1、有效數字

一個近似數四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字，都叫做這個數的有效數字。

2、科學記數法

把一個數寫做的形式，其中，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。

考點五、實數大小的比較

1、數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

2、實數大小比較的幾種常用方法

（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（2）求差比較：設a、b是實數，

（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，

（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。

（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。

考點六、實數的運算

（做題的基礎，分值相當大）

1、加法交換律

2、加法結合律

3、乘法交換律

4、乘法結合律

5、乘法對加法的分配律

6、實數混合運算時，對于運算順序有什么規定？

實數混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二級運算，乘方為三級運算。同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運算中如有括號時，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。

7、有理數除法運算法則就什么？

有理數除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數，等于乘以這個數的倒數；第二，兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數，商都是零。

8、什么叫有理數的乘方？冪？底數？指數？

相同因數相乘的積的運算叫乘方，乘方的結果叫冪，相同因數的個數叫指數，這個因數叫底數。記作:

an

9、有理數乘方運算的法則是什么？

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數。零的任何正整數冪都是零。

10、加括號和去括號時各項的符號的變化規律是什么？

去（加）括號時如果括號外的因數是正數，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內的式子相應各項的符號相同；括號外的因數是負數去（加）括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。

不等式與不等式組知識點歸納

一、不等式的概念

1．不等式：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。

3．不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

5．用數軸表示不等式的解集。

二、不等式的基本性質

1．不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。

2．不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

3．不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

說明：

①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。

②如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不等為0，否則不等式不成立。

例:

1．已知不等式3x-a≤0的正整數解恰是1，2，3，則a的取值范圍是

。

2．已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是

。

3．不等式組的整數解為

。

4．如果關于x的不等式（a-1）x

。

5．已知關于x的不等式組的解集為，那么a的取值范圍是

。

6．當

時，代數式的值不大于零

7.若

0（用“>”“=”或“”號填空）

8.不等式>1，的正整數解是

9.　不等式>的解集為

10.若>>，則不等式組的解集是

11.若不等式組的解集是－1

12.有解集2

（寫出一個即可）

13.一罐飲料凈重約為300g，罐上注有“蛋白質含量”其中蛋白質

的含量為

_____

g

14.若不等式組的解集為>3，則的取值范圍是

三、一元一次不等式（重點）

1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母

（2）去括號

（3）移項

（4）合并同類項

（5）將x項的系數化為1

例：

一、判斷題（每題1分，共6分）

1、a＞b，得a＋m＞b＋m

（

）

2、由a＞3，得a＞

（

）

3、x

=

2是不等式x＋3＞4的解

（

）

4、由－＞－1，得－＞－a

（

）

5、如果a＞b，c＜0，則ac2＞bc2

（

）

6、如果a＜b＜0，則＜1

（

）

二、填空題（每題2分，共34分）

1、若a＜b，用“＞”號或“＜”號填空：a－5

b－5；

－

－；－1＋2a

－1＋2b；6－a

6－b；

2、x與3的和不小于－6，用不等式表示為

；

3、當x

時，代數式2x－3的值是正數；

4、代數式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整數解是

；

5、如果x－7＜－5，則x

；如果－＞0，那么x

；

6、不等式ax＞b的解集是x＜，則a的取值范圍是

；

7、一個長方形的長為x米，寬為50米，如果它的周長不小于280米，那么x應滿足的不等式為

；

8、點A（－5，y1）、B（－2，y2）都在直線y

=

－2x上，則y1與y2的關系是

；

9、如果一次函數y

=（2－m）x＋m的圖象經過第一、二、四象限，那么m的取值范圍是

；

四、一元一次不等式組

（難點）

1、一元一次不等式組的概念：

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

4、當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

5、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

例：

一、選擇題

1．下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．下列說法正確的是（

）

A．不等式組的解集是5

B．的解集是－3

C．的解集是x=2

D．的解集是x≠3

3．不等式組的最小整數解為（

）

A．－1

B．0

C．1

D．4

4．在平面直角坐標系中，點P（2x－6，x－5）在第四象限，則x的取值范圍是（

）

A．3

B．－3

C．－5

D．－5

5．不等式組的解集是（

）

A．x>2

B．x

C．2

D．無解

二、填空題

6．若不等式組有解，則m的取值范圍是______．

7．已知三角形三邊的長分別為2，3和a，則a的取值范圍是_____．

8．將一筐橘子分給若干個兒童，如果每人分4個橘子，則剩下9個橘子；如果每人分6個橘子，則最后一個兒童分得的橘子數將少于3個，由以上可推出，共有_____個兒童，分_____個橘子．

9．若不等式組的解集是－1

三、解答題

10．解不等式組

11．若不等式組無解，求m的取值范圍．

12．為節約用電，某學校于本學期初制定了詳細的用電計劃．如果實際每天比計劃多用2度電，那么本學期用電量將會超過2530度；如果實際每天比計劃節約了2度電，那么本學期用電量將會不超過2200度．若本學期的在校時間按110天計算，那么學校每天計劃用電量在什么范圍內？

易錯點分析：

易錯點1：誤認為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個數之間的部分．

例1

解不等式組

錯解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式組的解集為－2＜x＜1．

錯因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數軸求出這些不等式解集的公共部分．此題錯在對“公共部分”的理解上，誤認為兩個數之間的部分為“公共部分”（即解集）．實際上，這兩部分沒有“公共部分”，也就是說此不等式組無解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分．此外，有些同學可能會受到解題順序的影響，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，這些都是錯誤的．

正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式組無解．

易錯點2：誤認為“同向解集哪個表示范圍大就取哪個”．

例2解不等式組

錯解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．由于x＞－的范圍較大，所以不

等式組的解集為x＞－．

錯因剖析：本例錯解中，由于對不等式組的解集理解得不深刻，在根據兩個解集的范圍確定不等式組的解集時，形成錯誤的認識．其實在求兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集時，可歸納為以下四種基本類型（設a＜b），

①

②

③

④

利用數可確定它們的解集分別為

①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口訣來幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）”．

正解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．

所以不等式組的解集為x＞5．

易錯點3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法．

例3

解不等式組

錯解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式組的解集為x≤7．

錯因剖析：本例錯在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中．產生此類錯誤的根本原因是沒有正確區分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點，（1）解二元一次方程組時，兩個方程不是單獨存在的；（2）由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨立解，集中到”，即獨立地解不等式組中的每一個不等式組中的每一個不等式，在解的過程中，各不等式彼此不發生關系，“組”的作用在最后，即每一個不等式的解集都要求出來后，再利用數軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集．

正解：由不等式①，得x≥－17，即x≥－．

由不等式②，得x≤－3，即

x≤－．

所以原不等式組的解集為－≤x≤－．

易錯點4：在去分母時，漏乘常數項．

例4

解不等式組

錯解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－，所以原不等式組的解集為2＞x≥－．

錯因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個不等式的解，最后找出它們的公共部分．對不等式進行變形時，一定要使用同解變形，不然就容易出錯．本例的解答過程中沒有掌握不等式的運算性質，在去分母時漏乘了中間的一項．此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解集時應按一般順序，把小的那個數放在前面，大的那個數放在后面，用“＜”連接．

正解：由①，得x＜2．在＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式組的解集為－1≤x＜2．

易錯點5：忽視不等式兩邊同乘（或除以）的數的符號，導致不等式方向出錯．

例5

解關于x的不等式（－a）x＞1－2a．

錯解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．將不等式兩邊同時除以（1－2a），得x＞2．

錯因剖析：在利用不等式的性質解不等式時，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數是含字母的式子，應注意討論含字母的式子的符號．本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(1－2a)，在不確定取值符號的情況下進行約分，所以出錯．

正解：將不等式變形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．

（1）當1－2a＞0時，即a＜時，x＞2；

（2）當1－2a＝0時，即a＝時，不等式無解；

（3）當1－2a＜0時，即a＞時，x＜2．

例6

如果關于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜，則關于x的不等式ax＞b的解集是_________．

錯解：因為不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，所以＝，則有

解得從而知ax＞b的解集是x＞．

錯因剖析：本題錯因有兩個，一是忽視了原不等式的不等號方向與解集的不等號方向正好相反；二是對含有字母系數的不等式沒有根據解集的情況確定字母系數的取值范圍，所以在解題時錯誤得出解得從而錯誤得到ax＞b的解集是x＞．

正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，得解得所以ax＞b的解集是x＜．

易錯點6：尋找待定字母的取值范圍時易漏特殊情況．

例7

若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是________________．

錯解：由得又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a＞3．

錯因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規律求解，但當已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時則不能完全套用此規律，還應考慮特例，即a＝3，有x≤3及

x＞3，而此時不等式組也是無解的．因此，本題錯在沒有考慮待定字母的取值范圍的特殊情況．

正解：由得又因為不等式組無解，所以a的取值范圍是a≥3．

例8

已知關于x的不等式組的整數解共有5個，則

a的取值范圍是_________．

錯解：由解得又因為原不等式組的整數解共有5個，所以a≤x＜2，這

5個整數解為－3，－2，－1，0，1，從而有a≤－3(或a＝－3)．

錯因剖析：本題主要考查同學們是否會運用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解．上述解法錯在忽視a≤x＜2中有5個整數解時，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在－3與－4之間，其中包括－3，但不應包括－4，所以錯解在確定

a的取值范圍時擴大了解的范圍．

正解：由解得又因為原不等式組的整數解共有5個，所以a≤x＜2．又知這5個整數解為－3，－2，－1，0，1．故a的取值范圍是－4＜a≤－3．

總之，對于解一元一次不等式（組）問題，我們要深刻領會一元一次不等式（組）的基礎知識，熟悉這6個易錯點，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠離解一元一次不等式（組）的錯誤深淵．

中考考點解讀：

1.

（2012山東濱州3分）不等式的解集是【

】

A．

B．

C．

D．空集

【答案】A。

【考點】解一元一次不等式組。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，

解得，解得。按同大取大，得不等式組的解集是：．故選A。

2.

（2012山東濱州3分）李明同學早上騎自行車上學，中途因道路施工步行一段路，到學校共用時15分鐘．他騎自行車的平均速度是250米/分鐘，步行的平均速度是80米/分鐘．他家離學校的距離是2900米．如

果他騎車和步行的時間分別為分鐘，列出的方程是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組。

【分析】李明同學騎車和步行的時間分別為分鐘，由題意得：

李明同學到學校共用時15分鐘，所以得方程：。

李明同學騎自行車的平均速度是250米/分鐘，分鐘騎了250米；步行的平均速度是80米/分鐘，分鐘走了80米。他家離學校的距離是2900米，所以得方程：。

故選D。

3.

（2012山東德州3分）已知，則a+b等于【

】

A．3

B．

C．2

D．1

【答案】A。

【考點】解二元一次方程組。

【分析】兩式相加即可得出4a+4b=12，方程的兩邊都除以4即可得出答案：a+b=3。故選A。

4.

（2012山東東營3分）方程有兩個實數根，則k的取值范圍是【

】．

A．

k≥1

B．

k≤1

C．

k>1

D．

k

【答案】D。

【考點】一元二次方程的意義和根的判別式。

【分析】當k=1時，原方程不成立，故k≠1，

當k≠1時，方程為一元二次方程。

此方程有兩個實數根，

，解得：k≤1。

綜上k的取值范圍是k＜1。故選D。

5.

（2012山東菏澤3分）已知是二元一次方程組的解，則的算術平方根為【

】

A．±2

B．

C．2

D．

4

【答案】C。

【考點】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數式的值，算術平方根。

【分析】是二元一次方程組的解，，解得。

。即的算術平方根為2。故選C。

6.

（2012山東萊蕪3分）對于非零的實數a、b，規定ab＝－．若2(2x－1)＝1，則x＝【

】

A．

B．

C．

D．－

【答案】A。

【考點】新定義，解分式方程。

【分析】ab＝－，2(2x－1)＝1，2(2x－1)＝。

。

檢驗，合適。故選A。

7.

（2012山東萊蕪3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的兩根，則代數式的值為【

】

A．9

B．±3

C．3

D．5

【答案】C。

【考點】一元二次方程根與系數的關系，求代數式的值。

【分析】m、n是方程x2＋2x＋1＝0的兩根，m＋n=，mn=1。

。故選C。

8.

（2012山東臨沂3分）用配方法解一元二次方程時，此方程可變形為【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考點】配方法解一元二次方程。

【分析】。故選D。

9.

（2012山東臨沂3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】A。

【考點】解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，。

不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。因此，在數軸上表示為：

故選A。

10.

（2012山東臨沂3分）關于x、y的方程組的解是

，則的值是【

】

A．5

B．3

C．2

D．1

【答案】D。

【考點】二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數式的值。

【分析】方程組的解是，。

。故選D。

11.

（2012山東日照4分）已知關于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是【

】

(A)

k>且k≠2

(B)k≥且k≠2

(C)

k

>且k≠2

(D)k≥且k≠2

【答案】C。

【考點】一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義。

【分析】方程為一元二次方程，k－2≠0，即k≠2。

方程有兩個不相等的實數根，＞0，

（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，

5（4k－3）＞0，k＞。

k的取值范圍是k＞且k≠2。故選C。

12.

（2012山東日照4分）某校學生志愿服務小組在“學雷鋒”活動中購買了一批牛奶到敬老院慰問老人.如果分給每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.則這個敬老院的老人最少有【

】

（A）29人

（B）30人

（C）31人

（D）32人

【答案】B。

【考點】一元一次不等式組的應用。

【分析】設這個敬老院的老人有x人，則有牛奶（4x＋28）盒，根據關鍵語句“如果分給每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式組：

，

解得：29＜x≤32。

x為整數，x最少為30。故選B。

13.

（2012山東泰安3分）將不等式組的解集在數軸上表示出來，正確的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】C。

【考點】解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，

，由①得，＞3；由②得，≤4。

其解集為：3＜≤4。

不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個。在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。因此，

3＜≤4在數軸上表示為：

故選C。

14.

（2012山東濰坊3分）不等式組的解等于【

】．

A．

1

B．

x>1

C．

x

D．

x2

【答案】A。

【考點】解一元一次不等式組。

【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）。因此，

解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，此不等式組的解集為：1＜x＜2。故選A。

15.

（2012山東濰坊3分）下圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的9個數(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為192，則這9個數的和為【

】．

A．32

B．126

C．135

D．144

【答案】D。

【考點】分類歸納（數字的變化類），一元二次方程的應用。

【分析】由日歷表可知，圈出的9個數中，最大數與最小數的差總為16，又已知最大數與最小數的積為192，所以設最大數為x，則最小數為x－16。

x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（負數舍去）。

最大數為24，最小數為8。

圈出的9個數為8，9，10，15，16，17，22，23，24。和為144。故選D。

第8章

整式的乘法與因式分解

整式的乘法

同底數冪的乘法：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n都是正整數）

冪的乘方：

(am)n

=

a

m

n（m、n都是正整數）

積的乘方：(ab)n

=

a

n

b

n（n為正整數）

同底數冪的除法：

a

m

÷

a

n

=

a

m

-

n（a

≠

，m、n都是正整數，并且m＞n）

零指數冪：a0

=

1（a

≠

）

單項式與單項式相乘，

單項式與多項式相乘，

多項式與多項式相乘。（利用運算律和上面的運算性質解答）

乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=

a2

-

b2

完全平方公式：（a+b）2

=

a2

+

2ab

+

b2

（a-b）2

=

a2

-

2ab

+

b2

添括號法則：a+b+c

=

a+(b+c)

a-b-c

=

a

-

(b+c)

舉例：a-b+c

=

a

-

(b-c)

因式分解（幾個整式乘積的形式）

式子的變形：這個多項式的因式分解

=

把這個多項式因式分解。

1、提公因式法（多項式各項有公因式）

2、公式法（3個乘法公式左右互換）

3、十字相乘法（補充）

分式

9.1

分式：A/B。（A、B表示兩個整式，并且B中含有字母。B

≠

0分式才有意義。）

分式的性質：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。

約分、最簡分式、通分、最簡公分母。

9.2

分式的運算

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減。

分式的乘方：要把分子、分母分別乘方。

整數指數冪：正整數指數冪，零指數冪，負整數指數冪（a-n

=

1/an

,

a≠0）。

歸結：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n是整數）

(am)n

=

a

m

n（m、n是整數）

(ab)n

=

a

n

b

n（n是整數）

備注：分子、分母是多項式時，通常先分解因式，再約分。

9.3

分式方程

概念：分母中含未知數的方程。

最簡公分母不為0是分式方程的解；

步驟：分式方程

整式方程

X

=

a

最簡公分母為0

不是分式方程的解。

去分母

解整式方程

檢驗

相交線與平行線知識點精講

1.

相交線

同一平面中，兩條直線的位置有兩種情況：

相交：如圖所示，直線AB與直線CD相交于點O，其中以O為頂點共有4個角：

1，2，3，4；

鄰補角：其中1和2有一條公共邊，且他們的另一邊互為反向延長線。像1和2這樣的角我們稱他們互為鄰補角；

對頂角：1和3有一個公共的頂點O，并且1的兩邊分別是3兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角；

1和2互補，2和3互補，因為同角的補角相等，所以1＝3。

所以，對頂角相等

例題：

1.如圖，31＝23，求1，2，3，4的度數。

2.如圖，直線AB、CD、EF相交于O，且，，則_______，__________。

垂直：垂直是相交的一種特殊情況兩條直線相互垂直，其中一條叫做另一條的垂線，它們的交點叫做垂足。如圖所示，圖中ABCD，垂足為O。垂直的兩條直線共形成四個直角，每個直角都是90。

例題：

如圖，ABCD，垂足為O，EF經過點O，1＝26，求EOD，2，3的度數。

垂線相關的基本性質：

（1）

經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線；

（2）

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

（3）

從直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

例題：假設你在游泳池中的P點游泳，AC是泳池的岸，如果此時你的腿抽筋了，你會選擇那條路線游向岸邊？為什么？

2.平行線：在同一個平面內永不相交的兩條直線叫做平行線。

平行線公理：經過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行。

如上圖，直線a與直線b平行，記作a//b

3.同一個平面中的三條直線關系：

三條直線在一個平面中的位置關系有4中情況：有一個交點，有兩個交點，有三個交點，沒有交點。

（1）有一個交點：三條直線相交于同一個點，如圖所示，以交點為頂點形成各個角，可以用角的相關知識解決；

例題：

如圖，直線AB,CD,EF相交于O點，DOB是它的余角的兩倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度數。

（2）有兩個交點:（這種情況必然是兩條直線平行，被第三條直線所截。）如圖所示，直線AB，CD平行，被第三條直線EF所截。這三條直線形成了兩個頂點，圍繞兩個頂點的8個角之間有三種特殊關系：

*同位角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD的同側，在第三條直線EF的同旁（即位置相同），這樣的一對角叫做同位角；

*內錯角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的兩旁（即位置交錯），這樣的一對角叫做內錯角；

*同旁內角：沒有公共頂點的兩個角，它們在直線AB,CD之間，在第三條直線EF的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角；

指出上圖中的同位角，內錯角，同旁內角。

兩條直線平行，被第三條直線所截，其同位角，內錯角，同旁內角有如下關系：

兩直線平行，被第三條直線所截，同位角相等；

兩直線平行，被第三條直線所截，內錯角相等

兩直線平行，被第三條直線所截，同旁內角互補。

如上圖，指出相等的各角和互補的角。

例題：

1.如圖，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度數。

2.如圖所示，AB//CD，A＝135，E＝80。求CDE的度數。

平行線判定定理：

兩條直線平行，被第三條直線所截，形成的角有如上所說的性質；那么反過來，如果兩條直線被第三條直線所截，形成的同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，是否能證明這兩條直線平行呢？答案是可以的。

兩條直線被第三條直線所截，以下幾種情況可以判定這兩條直線平行：

平行線判定定理1：同位角相等，兩直線平行

如圖所示，只要滿足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以說AB//CD

平行線判定定理2：內錯角相等，兩直線平行

如圖所示，只要滿足6＝2（或者5＝4），就可以說AB//CD

平行線判定定理3：同旁內角互補，兩直線平行

如圖所示，只要滿足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以說AB//CD

平行線判定定理4：兩條直線同時垂直于第三條直線，兩條直線平行

這是兩直線與第三條直線相交時的一種特殊情況，由上圖中1＝2＝90就可以得到。

平行線判定定理5：兩條直線同時平行于第三條直線，兩條直線平行

例題：

1.已知：AB//CD，BD平分，DB平分，求證：DA//BC

2.已知：AF、BD、CE都為直線，B在直線AC上，E在直線DF上，且，，求證：。

（3）有三個交點

當三條直線兩兩相交時，共形成三個交點，12個角，這是三條直線相交的一般情況。如下圖所示：

你能指出其中的同位角，內錯角和同旁內角嗎？

三個交點可以看成一個三角形的三個頂點，三個交點直線的線段可以看成是三角形的三條邊。

（4）沒有交點：

這種情況下，三條直線都平行，如下圖所示：

即a//b//c。這也是同一平面內三條直線位置關系的一種特殊情況。

例題：

如圖，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，問直線EF與CD有怎樣的位置關系，為什么？

一．選擇題：

1.

如圖，下面結論正確的是（

）

A.

是同位角

B.

是內錯角

C.

是同旁內角

D.

是內錯角

2.

如圖，圖中同旁內角的對數是（

）

A.

2對

B.

3對

C.

4對

D.

5對

3.

如圖，能與構成同位角的有（

）

A.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個

4.

如圖，圖中的內錯角的對數是（

）

A.

2對

B.

3對

C.

4對

D.

5對

5．如果兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少，那么這兩個角是（

）

A.

B.

都是

C.

或

D.

以上都不對

二．填空

1．

已知：如圖，。求證：。

證明：（

）

（

）

（

）

（

）

2．

已知：如圖，COD是直線，。求證：A、O、B三點在同一條直線上。

證明：COD是一條直線（

）

___________（

）

（

）

____________________

_______________（

）

三．解答題

1．如圖，已知：AB//CD，求證：B+D+BED=（至少用三種方法）

2．已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點，DE、AF分別交BC于G、H，A=D，1=2，求證：B=C。

3．已知：如圖，，且B、C、D在一條直線求證：

4．已知：如圖，，DE平分，BF平分，且。

求證：

5．已知：如圖，。

求證：

6．已知：如圖，。

求證：

相交線與平行線

10.1

相交線

鄰補角、對頂角

對頂角相等

直線與直線互相垂直，記作。

垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

垂線段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

同位角、內錯角、同旁內角

10.2

平行線及其判定

10.2.1

平行線

在同一平面內，當直線與直線不相交時，我們就說直線與直線互相平行，記作.

平行公理：

經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

即如果，，那么.

10.2.2

平行線的判定

判定方法1

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

同位角相等，兩直線平行。

判定方法2

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。

內錯角相等，兩直線平行。

判定方法3

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。

同旁內角互補，兩直線平行。

10.3

平行線的性質

性質1

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

兩直線平行，同位角相等。

性質2

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。

兩直線平行，內錯角相等。

性質3

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。兩直線平行，同旁內角互補。

10.4

平移

相

交

線

平行公理

同位角、內錯角、同旁內角

兩條直線被第三條直線所截

兩條直線

相交

垂線及其性質

鄰補角、

對頂角

點到直線的距離

對頂角相等

平移

判定

性質

篇（5）

由于數學科目的特點，在考試中一般概念很可能得不到直接體現，因而很容易受到教師的忽視，但是我們縱觀大大小小的各類考試，卻不難發現，數學概念的運用滲透在每份試卷的各類題型中.因此，在數學教學中，確實需要加強概念課的教學，下面，我就初中數學概念教學談談自己膚淺的一些認識：一、在概念的教學中,體驗知識的形成過程

《九年制義務教育數學課程標準》指出：抽象數學概念的教學，要關注概念的形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式.初中生正處于由形象思維能力到抽象思維發展的階段，抽象思維能力較差.因此，教師在概念教學時，切忌直截了當就定義而講定義，應更多地從概念的產生和發展過程中為學生提供思維情景，讓他們通過觀察，比較，概括，由特殊到一般，由具體到抽象，這樣不僅能幫助學生理解和掌握新概念，而且也使他們的抽象思維得到發展.

例如,負數概念的建立,展現知識的形成過程如下：①讓學生總結小學學過的數,表示物體的個數用自然數1,2,3…表示；一個物體也沒有,就用自然數0表示；測量和計算有時不能得到整數的結果,這就用分數或小數表示. ②觀察兩個溫度計,零上3度.記作+3 ℃,零下3度,記作-3 ℃,這里出現了一種新的數――負數.③讓學生說出所給問題的意義,讓學生觀察所給問題有何特征.④引導學生抽象概括正、負數的概念.

學習最好的途徑是自己去發現.學生如果能在教師創設的情景中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現概念的過程，在獲得概念的同時還能培養他們的創造精神.在“正弦和余弦”的教學中，學生通過自主探究，經歷了正弦和余弦概念的發生過程，實現了由形到數，由具體到抽象的思維過程，從而培養了學生的概括和抽象思維能力，同時也激發了學生學習的動機和探究的熱情.

二、深入剖析，揭示概念的本質

《九年制義務教育數學課程標準》指出：根據學生的年齡特征，認知規律與知識特點，在教學中一些重要的數學概念應遵循逐級遞進，螺旋上升的原則并逐步深入剖析概念的定義，幫助學生進一步理解概念的含義.如為了使學生更好地理解掌握數學概念，我們必須揭示其本質特征，進行逐層剖析.

例如，在學習函數概念時，學生很難理解課本中給出的定義，教學中不能讓學生死記硬背定義，也不應只關注對其表達式、定義域、值域的討論，而應選取具體事例，使學生體會函數能夠反映實際事物的變化規律．

如先讓學生指出下列問題中哪些是變量，它們之間的關系用什么方式表達：

（1）火車的速度是每小時60千米，在t小時內行過的路程是s千米；

（2）用表格給出的某水庫的存水量與水深；

（3）等腰三角形的頂角與一個底角；

（4）由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻．

讓學生反復比較，得出各例中兩個變量的本質屬性：一個變量每取一個確定的值，另一個變量也相應地唯一確定一個值．再讓學生自己舉出函數的實例，辨別真假例子，抽象、概括出函數定義，至此學生能體會到函數“變”滲透了函數思想.

又如，在一元一次方程的教學中滲透函數思想：某移動通訊公司開設了兩種通訊業務.“全球通”：使用者先繳50元月租費，然后每通話1分鐘，再付費0.4元；“快捷通”；不繳月租費，每通話1分鐘，付話費0.6元{本題的通話均指市內通話}.

（1）一個月內通話多少分鐘，兩種移動通訊費用相同？

（2）某人估計一個月內通話300分鐘，應選擇哪種移動通訊業務合算些？

通過在不同階段滲透函數思想，使學生對函數概念理解呈螺旋上升，有利于學生不斷加深對函數思想的理解. 并逐步形成函數概念，(1)“在某個過程中，有兩個變量x和y”是說明：a、變量的存在性；b、函數是研究兩個變量之間的依存關系；(2)“對于在某一范圍內的每一個確定的值”是說明變量x是在一定范圍內取值，即允許值范圍也就是函數的定義域.(3)“y有唯一確定的值和它對應”說明有唯一確定的對應規律.(4)“y是x的函數”揭示了誰是誰的函數，由以上剖析可知，函數概念的本質是對應關系.

三、聯系實際應用，加深對概念的理解

《標準》指出：要讓學生體會數學在現實生活中的應用價值，增強用數學的意識，實現“人人學有價值的數學”.在教學過程中，應重視挖掘與生活實際聯系的因素，使學生掌握概念，并能夠應用概念解決生活中的數學問題.

例題,“怎樣測量旗桿的高度”是安排在九年級下冊三角形相似和銳角三角函數之后的一個課題學習.本課題運用三角形相似概念、銳角三角函數概念等知識解決相關問題.同時，在從事活動的過程中，學生將經歷計算、比較、估計、對比、交流、反思、選擇最優化方案等過程有利于發展學生的數學思考.對本課題的討論，將有利于學生體會數學與現實生活的密切聯系，積累解決問題的經驗和數學活動的經驗，獲得良好的情感體驗，體現情感態度價值觀的目標教育.

本課題的學習實質上是一個對相似三角形概念和銳角三角函數概念復習鞏固的課題，主要意圖不是怎樣測量的問題，而是提供一個思考、探究的平臺，在活動中體現歸納、綜合和拓展，感悟處理問題的策略和方法，通過分析和設計測量方法，促使學生去思考生活中的問題，積累數學活動經驗和生活經驗.

本例通過生活中測量實例，讓學生親身感受將實際問題抽象成數學模型的過程，培養學生面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略，增強學生的應用意識，實現“人人學有價值的數學”.

總之，以上是對數學概念教學中培養創造性思維的一些探索.眾所周知，人類認識科學的一般途徑是引入概念，形成過程，揭示概念的本質，鞏固概念，應用概念.在數學概念的教學中，也讓學生經歷這樣一個過程，不但能使學生逐步掌握概念的本質，還能有效地發展學生的創造性思維.

參考文獻：

［1］蘇步青.中學數學教育［M］.中國教育學會出版社，2005（6）.

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一、課堂講授是數學教學滲透德育的主要途徑之一

教師在教學中要充分發揮和體現人格魅力。德育過程既是說理、訓練的過程，也是情感陶冶的過程。教師自身的形象和教師體現出來的一種精神對學生的影響是巨大的，也是直接的，教師的板書設計、語言表達、教師的儀表等都可以無形中給學生美的感染，從而陶冶學生情操。

比如，為了上好一堂數學課，教師作了大量的準備，采取了靈活多樣的教學手段。這樣學生不僅學得愉快，而且在心里還會產生一種對教師的敬佩之情，并從教師身上體會到一種責任感，這樣對以后的學習工作都有巨大的推動作用。

二、充分利用教材挖掘德育素材

課堂教學中滲透德育教育要依據教材所提供的內容，有計劃、分步驟地進行，決不能隨心所欲，想到什么就講什么;也不能脫離教學內容和學生實際，無控制地隨意滲透。要研究課程標準及教材，找出知識的最佳結合點，概括出思想教育滲透于各課教學的要求，使德育教育成為常規教學一個重要組成部分。

例如，在教學七年級數學科學記數法時，我國的人口大約為1223890000，居世界第一位，但陸地面積約為9597000平方公里，僅居世界第三位，可利用這些數據讓學生進行練習。這樣一方面學生掌握了知識，另一方面也使學生從中體會到我國的人口雖然多但陸地面積并不占優勢，要愛護我們國家的每一寸土地。

三、在課堂教學中進行德育滲透

課堂教學中滲透思想教育其目的就是要在知識傳授的同時對學生進行思想品德教育，使學生形成正確的世界觀，因而要注意提高德育滲透的實效性。教師在滲透的過程中要針對學生的實際與需要來滲透，發出的信息要為學生樂于接受，進而轉化為他們的信念和思想品德要素。

例如在教學勾股定理時，根據教材內容，結合我國數學發展的歷史，向學生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發學生熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養他們的民族自豪感。同時可用當今世界上許多科學家探尋科學的事例，來激發學生學習數學的興趣，激勵他們奮發圖強、努力學習，為將來擔負起振興中華之重任打下堅實的基礎。還要采取靈活多樣的教學方法潛移默化地對學生進行德育教育，比如研究性學習、合作性學習等。在教學中，有很多定義和定理如果光靠教師口頭傳授是起不到作用的，這時候就可以引導學生分組進行討論，共同思考、總結。這樣不但可以培養學生的各種能力，而且還可以培養他們團結合作的能力等。采取小組合作學習法，能夠使學生共享一個觀念：學生們一起學習，既要為別人的學習負責，又要為自己的學習負責，學生的個人目標與小組目標之間是相互依賴關系，只有在小組其他成員都成功的前提下自己才能取得成功。還可以從小讓學生養成嚴肅看待他人學習成績的習慣。

四、利用數學活動和其他形式進行德育教育

德育滲透不能只局限在課堂上，應與課外學習有機地結合，我們可以適當開展一些數學活動課和數學主題活動。

例如，教學七年級數學（北師大版）“生活中的數據”后，我們可以讓學生回家后調查自己家庭每天使用垃圾袋的數量，然后通過計算每個學生家中一個星期、一個月、一年使用垃圾袋的數量，制成扇形統計圖，然后綜合垃圾袋對環境造成的影響，對學生進行“愛護環境，從我做起”的教育，這樣學生既可以掌握有關的數學知識，又對他們進行了環保教育。

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新教材的彈性很大，其選擇的材料是精心組織、合理安排的，表達了一定的思想、方法和目的，但是教師怎樣設計數學情景，學生應形成怎樣的數學思想和方法，教材只做了簡短的說明. 但是基本的數學思想、方法確如靈魂一樣支配著整個教材. 因此，教師在教學過程中一定要研究教材，吃透教材，把教材中蘊含的數學思想、方法精心設計到教案中去. 例如七年級數學第一冊（上）的核心是字母表示數，正是因為有了字母表示數，我們才能總結一般公式和用字母表示定律，才形成了代數學科，這冊教材以字母表示數為主線貫穿始終，列代數式是用字母表示已知數，列方程是用字母表示未知數，同時本章通過求代數式的值滲透了對應的思想，用數軸把數和形緊密聯系起來，通過數形結合來鞏固具有相反意義的量的概念、了解相反數及絕對值、研究有理數加、減法和乘法的意義等，通過有理數、整式概念的教學，滲透了分類思想，教師只有這樣去把握教材的思想體系，才能在教學中合理地滲透數學思想和方法.

二、注重在知識生成過程中滲透數學思想和方法

由于初中學生數學知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數學思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應有的基礎. 因而只能將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中. 教師要創設一定的問題情境，提供豐富的感知材料，使學生的思維經歷數學結論的發生、發展、形成的全過程，并在這一過程中通過嘗試、觀察、猜想、歸納、概括、類比、假設、檢驗等自我接受數學思想、方法的滲透. 教師要抓住各種時機，引導學生透過問題表面理解問題本質，總結出教學思想方法上的一些規律性的內容. 例如三角形按邊分類方法：三角形可分為不等邊三角形、等腰三角形，等腰三角形又可分為等邊三角形、底邊和腰不相等的等腰三角形. 三角形按角分類方法：三角形可分為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形. 這里就滲透了分類討論思想. 又如：從分數性質到分式性質，從全等三角形到相似三角形等，滲透了類比與歸納的思想方法.

三、不斷再現，逐漸完善

數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程. 只有經過反復訓練才能使學生真正領會. 另外，使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數學思想方法系統”，這更需要一個不斷再現、反復訓練、逐漸完善的過程. 比如 ，運用類比的數學方法，在新概念提出、新知識點的講授過程中，可以使學生易于理解和掌握. 學習一次函數的時候，我們可以用乘法公式類比；在學次函數有關性質時，我們可以和一元二次方程的根與系數性質類比. 對一元一次方程和一元一次不等式的解法進行類比，使學生了解它們的聯系與區別，讓學生學會了用類比思想解決問題的方法，在初二學分式及其運算時，學生運用類比的思想由分數的性質和運算可以自主展開對分式的研究. 通過多次重復性的演示，使學生真正理解、掌握類比的數學方法. 小結課、復習課是系統知識，深化知識，使知識內化的最佳課型，也是滲透數學思想方法的最佳時機，教師要充分把握好這一時機，引導學生通過對所學知識系統整理，挖掘提煉解題指導思想，歸納總結上升到思想方法的高度，掌握本質，揭示規律.

四、開展數學思想方法示范課堂，強化交流合作

開展有關數學思想方法教學的示范課、研討課，以提高課堂效率為突破口，同課教師間進行研討、改進，取長補短，從而使思想和方法更有效地滲透到數學課堂中. 這對促進教研教學工作的進一步發展具有重大意義.