教學中培育數學核心素養的思考

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究竟什么樣態的知識更有利于數學核心素養的落實是人們長期探討的一個問題。數學核心素養的落實非單純地通過接受每一節、零散的數學知識來實現，而是通過對數學知識的自我重組和結構優化來實現的，學生只有獲得高質量的知識，才能培養其數學核心素養。數學核心素養的培養不是無源之水、無本之木，它要有具體的教學過程目標來支撐，課程標準很好的為數學核心素養目標的達成指明了方向。課程標準展示了學科的核心知識、本質及思想方法，規定了核心素養的評價標準。課程標準提倡從整體設計與結構關聯的角度來促進學生的數學學科核心素養生成，而主題教學是體現整體思維和結構關聯性的主要形式。課程標準要求培養學生的數學學科核心素養要落實于課堂教學，結合本科學知識的內容與特點、學生認知發展的阻礙點和生長點，分析本學段知識特點促進學生核心素養發展的主要內容與表達形式，提出該學科知識實現核心素養的具體目標。即通過教學目標體現課程標準對培養學生核心素養的要求[1]。數學核心素養體現著對數學知識內部邏輯關聯的自我整合與外部問題情境的深度融合，離開知識的整體結構，任何知識都會失去它完整的意義和深層次力量[2]。因此，要注重課程目標開發和整體設計，以整合性知識觀來探索學生核心素養的生成路徑。主題教學的整合性與學生核心素養的凝練與生成遙相呼應。

一、數學主題教學的內涵和特點

1.數學主題教學的內涵

主題教學是在整體思維指導下，從提升數學學科核心素養角度出發，對教材內容進行優化重組，并將優化后的內容視為一個相對獨立的教學主題，主要突出數學內容主線以及知識之間的關聯性[3]。主題教學中的主題并不是靜止的、一成不變的，它是由教師教學需要決定，有時需要根據教學主題的優化程度進行循環改進，體現數學知識的多維關聯。主題教學能看出停留在低層次所不能發現的事物之間的聯系和共同之處。數學主題教學正是從整體功能出發，在更高的觀點下對數學教學中的各要素進行系統綜合考量，產生整體效益。主題教學有利于教師對重難點的把握，使重難點不再局限于一個小節，而是對主題整體的規劃，這樣每個階段、每個課時的教學也更有針對性，數學思想方法及數學核心素養的滲透也會更有依據。

2.數學主題教學的形式

數學主題的確定形式多樣，教師可圍繞主題進行知識選擇，基于一個知識點或一條知識線索選取相關知識進行優化重組，讓知識的邏輯呈現更加清晰。數學主題可以是以重要的數學概念或核心數學概念為主線組織的知識型主題，可以是一個章節的，也可以是跨章節的，如教師在處理函數主題教學時，要關聯函數形成背景，函數相關聯系，具體函數模型和函數應用等方面；也可以是數學思想方法類主題，如數形結合、公理化方法等；還可以用數學核心素養為主題，如數學抽象、數學建模等。數學素養主題通常是教材中跨章節的內容，表現形式通常是張網式的[4]。

3.數學主題教學的特點

主題教學使得數學知識不再是學生識記的客體，而是承擔著促進學生思維發展的功能。數學知識往往在畢業后不久就被忘記了，然而以后不論學生從事何種工作，唯有深深地印刻在頭腦中的數學精神、思維方法、推理方法在隨時發生作用，使他們終身收益。主題教學并不是簡單的用加法思維進行，而是系統的整合要大于部分之和，知識放在系統里與其他知識關聯起來才能被理解，因為任何事物都不是簡單的孤立的存在。

二、函數主題教學中培育數學核心素養的教學探析

1.設計素養為本的函數主題的教學目標

課標中對函數強調：“幫助學生用抽象的思維去學習數學，在具體的實際生活情境中，能根據不同的實際需要選擇恰當的函數表示方法（如圖象法、列表法、解析法）描述事物變化的規律；通過觀察、分析、概括、模型化的方法使學生了解函數是描述變量關系的數學語言和工具，理解實數集合之間的對應關系，體會集合語言和對應關系在函數概念中的作用，了解函數構成的要素；能利用函數建構模型，解決現實生活中的實際問題。這些規定和描述，體現著通過學習過程和行為要求培養學生數學核心素養的目標。通過對課程標準的分析，函數主題的教學內容主要是培養學生數學抽象思維，發展建構數學模型的方法。由此設計“函數主題”的教學目標是：通過觀察、分析、抽象、概括等方法學會用集合語言刻畫函數，讓學生經歷情景——抽象——核心概念的學習過程，體會數學抽象核心素養。通過了解、體驗和探究函數在解決日常生活中的應用，理解“函數思想”能帶來的好處，滲透數學建模思想。

2.構建數學核心素養的函數主題教學結構體系

在“函數主題”教學中，要構建素養導向的教學結構體系，就要把握函數發展的整體思路，函數主題的教學設計也就離不開數學家對“函數”整體認識的發展史。從表1中可知，知識的產生與來源、事物的本質與規律、知識涉及的思想與方法、知識的關系與結構、知識的作用與價值5個方面層層遞進，構成了函數知識的意義系統，從而為學生建構了高質量和真正的知識結構體系。3.選擇適合不同素養內涵的教學策略

（1）通過史料分析函數主題發展脈絡

弗萊登塔爾指出，學生學習數學知識是“再創造”的過程，也就是把前人創造過的知識以學生容易接受的形態展現給學生，讓學生在這種形態下“創造性”學習。史料分析可以從整體視角抓住函數主題發展的來龍去脈，從前人研究函數的過程中幫助教師找到凝練數學核心素養的方法。函數起源于人們早期認識事物的變化規律，函數在早期以曲線形態呈現，體現了人們最初對事物變化規律的直觀理解，接下來人們發現借助曲線表達事物之間的依賴關系不利于運算，進而產生了函數要有公式表達，使函數由幾何轉為代數形態。后來數學家們發現即使一些簡單的函數也存在不唯一的表達式，這就不得不使人們對函數的解析式說進行完善，狄利克雷提出的“對應說”讓函數的表達式突破了解析式的制約。從這一系列的演變過程可知，函數的發展與生產、生活的實際需要以及數學內部之間的矛盾密切相關，而且隨著研究的深入，函數的表達不斷嚴謹化、精確化，也就是說人們認識函數經歷圖象→變量說→對應說的過程，這與通常學習函數的過程是一致的。但函數是如何描述變化的，在探索事物變化規律過程中如何凸顯“變化”的特征呢？這是函數知識產生的一個固著點。函數發展經歷了如下幾個階段：一是早期幾何觀念下的函數。1673年笛卡爾在他的解析幾何中已經注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但當時并未意識到凝練函數概念，大部分函數是被當作曲線研究的。二是代數觀念下的函數。18世紀中葉大數學家歐拉認為一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。三是對應關系下的函數。19世紀時柯西指出對函數來說不一定要有解析式，傅里葉發現函數可以用一個式子表示也可以用多個式子表示，狄利克雷突破了函數變量說如何建立X和Y之間關系的局限，提出對應說。三種函數理解各有不同特點；變量說樸素、根本的描述方式容易讓初學者接受；對應說對于研究函數精細的性質具有一定優勢；關系說普適性更強，但不宜于學生理解。三者在函數概念的發展史中各自體現著不同的地位，構建在人類認識活動背景下的知識探索，更接近學生的思維發展方式。從史料分析知識到素養建構的策略和方法，可以看出函數主題的產生是根據現實世界的實際需求和數學內部之間的實際矛盾而產生的。函數知識轉化為素養所用到的方法有：一是數形結合思想，本主題通過讓學生體會函數知識形成過程，整體感知函數的學習方法，要把函數圖像和解析式結合起來研究函數特征。二是數學模型思想，即函數是描述事物變化規律的模型，在建模過程中探索函數應用的一般過程。

（2）以大概念為核心建立數學抽象核心素養

函數主題作為高中數學的四大主題之一，從內部描述著事物本質變化的基本規律，在外部體現著具體函數模型與問題情境的整合。函數主題教學在研究事物的內在本質和外部屬性兩方面都彰顯著強大的統攝力與整合力，含有更為豐富的數學核心素養。大概念是概念與概念的關系抽象與概括的結果，是更能廣泛遷移的概念，能夠將各種相關概念和理解聯系成為一個連貫的整體。也就是說，大概念作為知識向核心素養轉化的中介機制，充分體現了數學核心素養是從數學知識中凝練出來的、整合出來的[5]。函數思想是一條貫穿于高中數學的主線，其函數主題在教學中具體落實要求對有關函數知識進行整合和凝練，而大概念作為一個蘊含豐富內涵的意義模式，通過確定大概念、外顯大概念、活化大概念對把握知識整體的認識論、方法論和價值論是具有實踐意義的。首先，確定大概念。抽象出研究事物變化規律的基本方法，其關鍵是通過用幾何直觀研究圖形變化的基本規律，圖形和圖表是直觀、生動呈現事物變化規律的基本方式，對函數的性質加以抽象概括，通過圖形觀察函數的性質和變化最為直觀，因此“數形結合”成為本主題的大概念，圍繞大概念的中介作用追問兩個問題，“數形結合思想”有效連接學生對函數的深度理解和遷移運用嗎？“數形結合思想”有效連接核心知識與核心目標嗎？其次，外顯大概念。將核心素養目標具體化為可見預期學習目標，就是將大概念進行表征和描述，在“函數主題”教學中，可以從三個維度對大概念進行描述：一是知道是什么，即知道函數主題的相關知識體系，可從哪些方面理解函數。如在函數背景理解方面：從圖象看函數，從變量與變量關系看函數，從對應關系看函數；在函數關聯理解方面：方程、不等式、線性規劃、曲線與方程等；函數模型理解方面：一次函數、二次函數、指數、對數、冪函數、三角函數、數列等。二是理解什么，即學生要理解數形結合思想研究函數的主要理由，以數釋形，把函數圖象和解析式結合起來研究函數特征，從圖象研究性質。三是能做什么，學生能夠用“數形結合”思想去預測生活中事物變化規律的趨勢。最后，活化大概念。知識向素養滲透，其操作方法是依據大概念設計核心問題，問題情景是核心素養生成的基本領域。教師可以通過創設以生活為背景的實例，從實際生活中獲得事物知覺和表象的模型，如展示炮彈發射后的軌跡、臭氧空洞面積變化曲線圖、城鎮居民恩格爾系數變化表，引導學生通過觀察、分析、歸納、概括等方法，把事物的關鍵、本質以及特征抽象出來，在問題的引導下對函數本質進行歸納和概括。在帶領學生探究函數本質的過程中，“理解”函數本質過程要建立在“前理解”的基礎上，前理解是理解的邏輯起點和現實源頭，學生在小學和初中已初步接受函數內容，高中階段學生還將學習幾種不同的函數模型，雖然研究對象不同，但研究函數的方法卻是相同的。為了讓學生意識到再次學習函數的必要性，可在學生的“前概念”中創造適當的認知沖突。如教師提問：“變量說”解釋常函數會出現什么問題，怎樣描述函數的本質更好？進而引發認知沖突，發現函數的研究還需要用精細的觀察和判斷。繼而發現更加貼近函數本質的“對應說”，對應說建立在“集合”和“對應”兩個基本概念上，師生展開大膽猜想，設計具有創意性的函數模型，讓學生借助生活情景初步感受“對應關系”，如把定義域類比為蘿卜籽，把值域類比為坑，讓學生體會蘿卜籽與坑的對應關系，一個蘿卜籽對應一個坑，也可以多個蘿卜籽對應一個坑，但一個蘿卜籽能對應兩個坑嗎？通過讓學生在實際情景中的分析、思考，抽象出定義域與值域的對應關系，并以驅動型問題引發學生對函數本質的思考，讓學生體會到對應說描述事物變化的準確性和深刻性?！皩f”的出現讓函數定義有了廣泛的適用范圍，但要注意的是“對應說”中“單值對應”并沒有準確的刻畫出函數的本質屬性，且“對應說”中“對應”的概念到底是什么還需商榷，教師可借此引入“關系說”讓一些有余力的學生進行思考，展開對函數現代定義的探索，這樣可以讓學生向科學家一樣思考問題，初步建立數學抽象思維。

（3）在問題情境教學中滲透數學建模核心素養

核心素養的發展和生成都高度依賴于問題情境，檢驗某種核心素養生成要看回到問題情境中是否能解決實際問題，核心素養是個體在面對現實問題情境時所表現的綜合力量。數學是運用抽象化和邏輯推理的方式研究數量、數字、空間的形式及其關系，在科學、工程、技術等領域有著廣泛應用，不同的學科背景為數學提供著豐富的問題情境，現實生活中存在大量問題可以通過體現變量關系的函數模型得到解決，所以在教學中應主要通過觀察實際背景和問題驅動體會函數模型的形成，通過問題情境——建立模型——求解驗證的過程逐步形成數學建模。注重數學建模的過程性教學，探索不同學科應用數學模型進行設計解決實際問題的過程，通過對實際情境中的問題進行抽象，用數學方法構建模型解決問題形成關鍵數學能力，如通過生物學中“種群數量變化”為情景建立對函數模型；在醫藥學中，有專家診斷模型，疾病靶向模型等；在管理學中，有投入產出模型、人力資源模型等。問題情境教學實施的一般模式是通過問題驅動和進行假設層層深入，如在問題情景中進行問題驅動：科學家、數學家使用什么方法研究事物的變化規律？決定這些變化規律的要素主要是什么？各要素之間的相互關系如何？師生對這些問題進行討論，即抽象出函數模型的基本要素：定義域、對應關系、值域。三者的基本關系是什么？定義域和對應關系決定著值域，定義域和對應關系是怎樣得出值域的呢？大膽假設提出加工機模型來解釋函數模型形成的基本過程，這一過程可表示為：x→[f]→f（x）=y，x必須經過f的加工才能達到y，加工機模型很好地解釋了函數模型中的“對應法則”。但隨之而來的問題是如何運用集合語言來刻畫函數？聯想到集合語言具有簡潔性、嚴謹性等特點，引導學生嘗試用集合語言來表示“一個變化”過程，此問題對于高一年級學生來說難度較大，教師可以借助PPT展示兩個集合間的對應關系應該怎樣表示，對生活情景中的問題進行充分討論，引導學生體會“對應法則”在函數概念中的核心作用。驗證過程中可以提問解析式y=f（x）中f與x之間是乘的關系嗎？用x，y的加減乘除能否全面的表示對應關系？對應關系f可以用哪些方式表達？這些問題都可以在加工機模型中進行驗證。接下來通過問題驅動對高中數學函數本質進行反思，提問：集合A中元素能否有剩余，集合B中的元素能否有剩余？學生通過觀察事物之間的變化規律，討論質疑，體會函數概念中的“任意”和“都有”二詞以及兩個實數集合之間的單值對應，并通過邏輯推理辨偽存真，從函數定義、函數符號、函數三要素三個層次加深理解集合與對應語言對函數的刻畫，從而認識到函數在感性上是幾何的，理性上是代數的，是一種通過某一事物的變化信息，可推知另一事物信息對應關系的事物模型。在此，把函數模型分析的過程應用到現實生活問題情景中，在解決問題的過程中將函數模型的思想逐步細化，從更高層次上認識函數描述事物變化規律的重要性，建立數學對象——共同特征——規律的結構模型，由此培養學生模型意識和模型認知的數學思維方式。

作者:張四保 常寧 單位:喀什大學數學與統計學院