高中數學片段教學設計大全11篇

緒論：寫作既是個人情感的抒發，也是對學術真理的探索，歡迎閱讀由發表云整理的11篇高中數學片段教學設計范文，希望它們能為您的寫作提供參考和啟發。

篇（1）

隨著以發展學生數學核心素養為數學課程目標的提出，如何在課堂教學中落實學生的數學核心素養成為一線教師面臨的問題。諸多研究指出，深度學習是數學課堂教學中培育學生數學核心素養的重要路徑，致使深度學習成為教育領域的熱點話題。深度學習，即深層學習，是美國學者FerenceMarton和RogerSaljo基于學生閱讀的實驗，并針對孤立記憶和非批判性接受知識的淺層學習，于1976年首次提出的關于學習層次的概念[1]。與淺層學習相比，深度學習的特征具體體現在：認知深度，即高階思維的運用；參與深度，即積極主動地參與；目標深度，即通過學習達到知識理解遷移及發展批判創造性思維[2]。因此，作為最大限度地挖掘學生智力資源的有效路徑，深度學習是指學生在教師的引領下，圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心地積極參與，并從中體驗成功、獲得發展的一種有意義學習過程[3]。近年來，學者們對深度學習的研究論述主要聚焦于宏觀視角下的深度學習或零散的學科教學設計案例研究[4-7]，而對深度學習落實于數學課堂教學設計的分析研究較少。鑒于此，本文從理解性、思想性、整體性、邏輯性四個方面對數學教學設計的基本要求進行深度剖析，進而對深度學習下高中數學教學設計提出了幾點優化策略，以期為一線教師的數學教學設計提供一些理論借鑒和實踐參考。

一、基于深度學習的高中數學教學設計基本要求

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學教學要在學生有意義學習的基礎上發展學生的數學學科核心素養[8]。對此，數學教師應切實做好基于深度學習的數學教學設計，即深入理解分析教學內容、挖掘教學內容蘊涵的思想方法、梳理教學內容內在的框架結構、遵循教學內容嚴密的邏輯生成。簡言之，基于深度學習的高中數學教學設計要體現“注重理解性”“滲透思想性”“把握整體性”“恪守邏輯性”等方面的基本要求。

1.注重理解性

深度學習是學習者提高學習質量的有效方式，學習者可通過深度學習靈活理解學科知識并應用其解決實際問題。所謂注重理解性，是對知識通性、通法、共性的深度認識，它是數學教學中的基本要求，是學生掌握數學知識、發展數學素養的有效手段。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出要培養學生學科核心素養，主要指學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力[9]，但相關研究表明學生僅通過簡單記憶和機械式應用無法達到課標的要求。而深度學習作為一種教學理解和教學設計模式，旨在通過理解分析教學內容，設計有助于學生深度思考的教學活動，使體現學科本質、關注學習過程和富有深度思考的學習活動真正發生[10]。可見，深度學習的重點在于引導學生在學習過程中產生認知沖突，進而組織學生全身心地參與學習活動，讓學生體驗成功、獲得發展，以提升學生的綜合素養。因此，在深度學習的數學教學過程中，學生要理解數學的核心內容，并在經歷數學知識的發生發展歷程中把握所學內容的數學本質，從而促進學生核心素養的發展?？傊獙崿F學生的深度學習，落實數學核心素養，數學教學設計就必須基于學情，確立“適切”的深度學習目標，且精心設計教學及評價任務，進而引導學生深度理解。

2.滲透思想性

在深度學習的數學教學過程中，滲透數學思想是培養學生思維能力的一種有效路徑，它能促使學生形成自己的學習方式，逐步提升學習效率。所謂數學思想，是指數學知識、方法在更高層次上的抽象概括和最本質的認識。但如何在數學教學中滲透數學思想？研究發現：教師深度教學與學生深度學習相結合是滲透數學思想的重要方式，即深在學生參與，倡導積極主動的學習態度；深在課程內容，倡導知其所以然的思想意識；深在學習過程，倡導學以致用的教育理念；深在學習結果，倡導批判思維的學習策略[11]。因此，教師在設計數學課堂教學時，要讓學生學會通過深度學習將自身獲取的點狀、片段、孤立的知識、思想內化為必備品格和關鍵能力。讓學生經歷深度學習的思維過程，促使學生分析問題、解決問題、批判思維、創造思維等能力得到顯著發展，從而強化學生的數學思想意識，發展學生的數學核心素養。

3.把握整體性

整體把握數學學科主題，聚焦核心素養主線，系統設計課堂教學是指向深度學習的數學教學設計基本策略。所謂把握整體性，即數學知識不是孤立的“點”，數學教師要從整體上把握彼此聯系的基本命題或概念體系等[12]。從深度學習的目標來看，數學整體性教學設計培養學生會用數學的眼光觀察現實世界，從中體現數學的抽象性；會用數學的思維思考現實世界，從中體現數學的嚴謹性；會用數學的語言表達現實世界，從中體現數學的應用性。從深度學習的內容來看，數學整體性教學設計一方面要求教師在講解教材中顯性知識時，應引導學生透過現象發現數學的本質，深度理解數學的思想方法等隱性知識，進而達到顯隱知識的動態轉化；另一方面要求學生能將零散的數學知識整合，能系統梳理知識框架，能架構科學的、合理的知識體系。因此，教師在設計教學時應把握整體性，積極引導學生在知識遷移與應用的過程中發展數學核心素養。總之，整體把握數學教學設計需要有效解決課時間的零散性與知識間的孤立性，單元間的割裂性與學科間的無關聯性等問題，從而更好地揭示數學知識的本質，促進學生學習的遷移類推，進而達到深度學習，為學生的自我發展奠定基礎。

4.恪守邏輯性

問題是數學教學的引領和驅動，而數學教學實質上是數學問題不斷得以解決的認知過程，故問題特色是設計教學的邏輯起點，它貫穿于目標、過程、評價及反思等環節之中。同時教材的內容體系編排總是遵循知識點間的相互聯系及其框架的邏輯結構。對此，基于深度學習的高中數學教學設計要恪守邏輯性是重中之重。所謂恪守邏輯性，是指教學內容設計符合邏輯框架、具有一定的邏輯特點和邏輯規則?？梢姡處熜璋凑蘸锨楹侠?、合乎邏輯的學習要求，整體梳理數學知識框架、把握數學本質促進知識理解，培養學生邏輯思維能力，促進其深度學習。因此，高中數學教師在設計教學時，應結合數學課程標準的相關理念及要求，從知識邏輯結構的視角研究課程、組織學材，關注知識點間的內在邏輯，使得相關知識形成一個完整的知識鏈條和結構體系，從而把握知識的系統性，進而促進學生數學核心素養的發展[13]。

二、基于深度學習的高中數學教學設計優化策略

指向深度學習的教學設計是教師對學科知識本質和學生學習的具體的、深入的設計。這就要求教師在整體理解教學內容、目標、學情的基礎上完成教學設計，具體應掌握如下教學設計優化策略。

1.密切聯系實際生活，引導學生理解數學本質

數學本質是教學設計的本意和本然狀態，教學中的創意不能偏離教學的本真意義，不能脫離學生的原有經驗，更不能背離教學目標制造虛假的創造。如“三角函數的概念”的情境引入環節，教師可設計：一個游樂場的摩天輪設施，假設它的中心離地面高度為h0，它的直徑為2，以逆時針方向勻速轉動，轉動一周需2分鐘，若此刻座艙中的你從初始位置OA出發，過了15秒后，你離地面有多高？過了30秒呢？45秒呢？教師借此引導學生理解抽象知識，培養學生數學思想及解決實際問題的能力?？梢?，基于深度學習的數學教學設計要從學生的學情出發，借助信息技術整合相關數學教學資源，教學素材要密切聯系學生生活實踐，在引導學生自主探索、動手實踐的過程中理解數學本質，從而構筑栩栩如生的數學課堂。

2.精心創設問題情境，幫助學生掌握思想方法

數學教學中的深度探究由數學問題情境引發，在解決數學認知沖突中展開，并在不斷解決數學問題的過程中實現知識技能與思想方法總結兩個核心目標。如“三角函數的概念”的探索新知環節，教師可設計：若在摩天輪座艙中的你從初始位置OA出發，過了15秒后，你在什么位置呢？你離地面有多高呢？過了30秒呢？45秒呢？60秒、75秒、90秒、105秒呢？讓學生感知數學與生活的緊密聯系，探究其中蘊含的數形結合等思想方法?？梢姡诨谏疃葘W習的教學設計中，教師要精心創設有效的、豐富的教學情境，培養學生的問題意識，既讓學生理解數學知識，更讓學生掌握研究問題的方法、探究問題的思路及如何構建知識體系的能力，進而發展學生的數學核心素養。

3.整體把握教學思路，引領學生實現知識遷移

數學課中的教學內容都是相應數學分支中的點，只有教師站在整個分支的高度來設計教學，才能從整體上把握所授內容的地位與作用、能力與要求、系統與建構，才更有利于學生真正理解和掌握相應的數學知識內涵、方法運用、思想本質。如“三角函數的概念”的鞏固訓練環節，教師可設計：小明同學在游樂園乘坐旋轉木馬，他在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1rad/s，求2s時他所在的位置。可見，教師在進行基于深度學習的教學設計時應整體把握教學思路，既要注重知識技能的講解，也要注重基本思想方法及基本活動經驗的培養，并通過鞏固訓練環節引領學生探析知識的遷移運用，增強學生從數學的角度發現、提出、分析、解決問題的能力，進而發展學生的數學核心素養。

篇（2）

1 加強“親和力”設計，以自然、親切、水到渠成的方式，以數學的內在魅力，激發學習興趣

課標課程理念強調親和力，“自然”了也就“親和”

這種“自然”的包括知識產生的自然、知識間銜接的自然、問題解決的自然，具體到一節課的設

包括課題引入、情景創設、為什么要學這些知

點與問題并存，主要存在的識、這些知識在一節課中出現的順序、師生交流、、重結果輕過程、方問題解決方法的產生等，如果教師在教學設計過程中，都能從這些“自然”出發，那么數學也就“親和”了，從而達到“把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”的境界.

案例1高中數學必修1“用二分法求方程的近似解”的設計片段.

步驟一 情景創設，引入主題

師：一元二次方程可用公式求根，那我們又如何求解方程ln260xx+?=的根呢？

生：方程的根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標，函數在區間

，

何找出零點

也就是函數的零點

師：我們已知( )ln26f xxx=+?(2 3)內有零點，進一步的問題是如？

設計意圖：產生認知沖突，引起學習興趣.

步驟二 函數的零點應用二分法求

師：老師的年齡在30歲到42歲之間，你說我幾歲呢？

生：36歲.

：我沒這么老吧？生：33歲.

師：你們猜的真好，你為什么這么

從而引出二分法的概念，然后引導學生用二分法求出方程

設計意圖：讓

2 用“問題”激活課堂，

的數學學習，

課標課程注重教學內容的問題性，以提高

、分析、解決問題的能力為目標，通過恰當的、對學生數學思維有適度啟

索 ，經歷觀察 、實驗、猜測、推理、交流、

等理性思維的基本過程，切實改進了學生的學習方式.在教學中，教師要根據教學內容，注意理

部分知識之間的內在聯系，依據知識之間的內在聯系設計問題，遵循循序漸進的原則，設計有層次、有梯度的問題，引發學生去思考、聯想，激發了學生的學習動力，發展了學生的問題意識.比如高中數學選修3《微積分基本定理》這節課的問題設計片段.

問題1 設某物體作直線運動，已知速度( )

vv t=

是時間間隔[]a b，上t的一個連續函數，且( )0v t≥，那么物體在這段時間內所經過的路程為多少？（( )

∫與( )( )

問題2 設某物體與問題1作同樣的直線運動，已知路程( )ss t=是時間間隔[]a b，上t的一個連續函數，那么物體在這段時間內所經過的路程為多少？（( )( )s bs a?

問題3 ( )

s bs a?相等嗎？為什么？

問題4 函數( )vv t與( )=ss t=是否有關？

問題上面四個問題的思考，對( )

3 加強思想方法的滲透與引導，站在數學方法來引導學生解決問

程改思想性，數是對數學知識發生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對數學規律的理性認識，是數學的基本觀點和基本學的指導思想解決數學問題的

處理方法，是建立數

根本想法；數學思想方法對數學創造和推動人類文化發展有著巨大的作用，是數學教育價值的根本所在，這已越來越被廣大數學教育工作者所接受.教師在教學過程中要注重數學思想方法的參透與引導，站在數學方法論的高度來引導學生數學地思考問題、解決問題，提高數學思維能力，例如下解題教學的設計片段.

案例2 已知拋物線2

:2 C yx=，

直線2ykx=+交C于A B，兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.

（Ⅰ）證明：拋物線C在點N處的切線與

AB平行；

（Ⅱ）是否存在實數NB?=求k的不存在，理由.

設計路 以問題串的形式，站在高度引導學生對解題方法的探究，

問題1 當直線2ykx=+的斜率坐標確定嗎？（斜率

k確定，點的是變化的主因）

斜率確橫坐標與

問題2 既然N點的坐標由定，那么如何用k表示N點的坐標呢？（N點的

坐標一致）

問題3 拋物線C在點N處的切線的

（求導）

問題4 所有的N點中，是否有

M點的橫斜率怎么求？一點使得

？如何求得該點？（應韋達定理將0

??

??，，所以

×=，所以拋物線在點????數等數學思想，更重要的是學會了探究解題規律的方法，提高了解題能力.

比、歸納、推廣、特殊化和化歸，溝通不之間的聯系與啟發

《課標》的課程理念強調知識內在聯系，數學新知識的掌握總在某種程度上依賴學生原有的知識

，學生原有的知識通過類比、歸納、推廣、特殊化等數學思維方式不斷產生新知識，比如通過橢圓學習雙曲線、通過函數的性質學習數列的性質、

等差數列學習等比數列、通過數的運算學習向量的運算、通過平面向量學習空間向

方法之間的類比應用、解題過程中已知與未知的聯系、數與形的聯系等.在教學中，教師應有意識地引導學生通過類比、歸納、推廣、特殊化、化歸等數學的思維方式不斷加強知識之間的聯系，使之成為一個整體.

案例3 高中數學選修2-3“二項式定理”的教學設計片段

觀察特例：222+=+++B

.

是數學結論，而是思想上的升華.用數學知識解決實際問題，發展學生的應用意識、增強學生對數學的理解識，那么如何才能真正做到發展學生的數學應用意識呢？

篇（3）

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學教學要在學生有意義學習的基礎上發展學生的數學學科核心素養。對此，數學教師應切實做好基于深度學習的數學教學設計，即深入理解分析教學內容、挖掘教學內容蘊涵的思想方法、梳理教學內容內在的框架結構、遵循教學內容嚴密的邏輯生成。簡言之，基于深度學習的高中數學教學設計要體現“注重理解性”“滲透思想性”“把握整體性”“恪守邏輯性”等方面的基本要求。

1.注重理解性

深度學習是學習者提高學習質量的有效方式，學習者可通過深度學習靈活理解學科知識并應用其解決實際問題。所謂注重理解性，是對知識通性、通法、共性的深度認識，它是數學教學中的基本要求，是學生掌握數學知識、發展數學素養的有效手段?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》指出要培養學生學科核心素養，主要指學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，但相關研究表明學生僅通過簡單記憶和機械式應用無法達到課標的要求。而深度學習作為一種教學理解和教學設計模式，旨在通過理解分析教學內容，設計有助于學生深度思考的教學活動，使體現學科本質、關注學習過程和富有深度思考的學習活動真正發生?？梢?，深度學習的重點在于引導學生在學習過程中產生認知沖突，進而組織學生全身心地參與學習活動，讓學生體驗成功、獲得發展，以提升學生的綜合素養。因此，在深度學習的數學教學過程中，學生要理解數學的核心內容，并在經歷數學知識的發生發展歷程中把握所學內容的數學本質，從而促進學生核心素養的發展。總之，要實現學生的深度學習，落實數學核心素養，數學教學設計就必須基于學情，確立“適切”的深度學習目標，且精心設計教學及評價任務，進而引導學生深度理解。

2.滲透思想性

在深度學習的數學教學過程中，滲透數學思想是培養學生思維能力的一種有效路徑，它能促使學生形成自己的學習方式，逐步提升學習效率。所謂數學思想，是指數學知識、方法在更高層次上的抽象概括和最本質的認識。但如何在數學教學中滲透數學思想？研究發現：教師深度教學與學生深度學習相結合是滲透數學思想的重要方式，即深在學生參與，倡導積極主動的學習態度；深在課程內容，倡導知其所以然的思想意識；深在學習過程，倡導學以致用的教育理念；深在學習結果，倡導批判思維的學習策略。因此，教師在設計數學課堂教學時，要讓學生學會通過深度學習將自身獲取的點狀、片段、孤立的知識、思想內化為必備品格和關鍵能力。讓學生經歷深度學習的思維過程，促使學生分析問題、解決問題、批判思維、創造思維等能力得到顯著發展，從而強化學生的數學思想意識，發展學生的數學核心素養。

3.把握整體性

整體把握數學學科主題，聚焦核心素養主線，系統設計課堂教學是指向深度學習的數學教學設計基本策略。所謂把握整體性，即數學知識不是孤立的“點”，數學教師要從整體上把握彼此聯系的基本命題或概念體系等。從深度學習的目標來看，數學整體性教學設計培養學生會用數學的眼光觀察現實世界，從中體現數學的抽象性；會用數學的思維思考現實世界，從中體現數學的嚴謹性；會用數學的語言表達現實世界，從中體現數學的應用性。從深度學習的內容來看，數學整體性教學設計一方面要求教師在講解教材中顯性知識時，應引導學生透過現象發現數學的本質，深度理解數學的思想方法等隱性知識，進而達到顯隱知識的動態轉化；另一方面要求學生能將零散的數學知識整合，能系統梳理知識框架，能架構科學的、合理的知識體系。因此，教師在設計教學時應把握整體性，積極引導學生在知識遷移與應用的過程中發展數學核心素養?？傊?，整體把握數學教學設計需要有效解決課時間的零散性與知識間的孤立性，單元間的割裂性與學科間的無關聯性等問題，從而更好地揭示數學知識的本質，促進學生學習的遷移類推，進而達到深度學習，為學生的自我發展奠定基礎。

4.恪守邏輯性

問題是數學教學的引領和驅動，而數學教學實質上是數學問題不斷得以解決的認知過程，故問題特色是設計教學的邏輯起點，它貫穿于目標、過程、評價及反思等環節之中。同時教材的內容體系編排總是遵循知識點間的相互聯系及其框架的邏輯結構。對此，基于深度學習的高中數學教學設計要恪守邏輯性是重中之重。所謂恪守邏輯性，是指教學內容設計符合邏輯框架、具有一定的邏輯特點和邏輯規則?？梢姡處熜璋凑蘸锨楹侠?、合乎邏輯的學習要求，整體梳理數學知識框架、把握數學本質促進知識理解，培養學生邏輯思維能力，促進其深度學習。因此，高中數學教師在設計教學時，應結合數學課程標準的相關理念及要求，從知識邏輯結構的視角研究課程、組織學材，關注知識點間的內在邏輯，使得相關知識形成一個完整的知識鏈條和結構體系，從而把握知識的系統性，進而促進學生數學核心素養的發展。

二、基于深度學習的高中數學教學設計優化策略

指向深度學習的教學設計是教師對學科知識本質和學生學習的具體的、深入的設計。這就要求教師在整體理解教學內容、目標、學情的基礎上完成教學設計，具體應掌握如下教學設計優化策略。1.密切聯系實際生活，引導學生理解數學本質數學本質是教學設計的本意和本然狀態，教學中的創意不能偏離教學的本真意義，不能脫離學生的原有經驗，更不能背離教學目標制造虛假的創造。如“三角函數的概念”的情境引入環節，教師可設計：一個游樂場的摩天輪設施，假設它的中心離地面高度為h0，它的直徑為2，以逆時針方向勻速轉動，轉動一周需2分鐘，若此刻座艙中的你從初始位置OA出發，過了15秒后，你離地面有多高？過了30秒呢？45秒呢？教師借此引導學生理解抽象知識，培養學生數學思想及解決實際問題的能力。可見，基于深度學習的數學教學設計要從學生的學情出發，借助信息技術整合相關數學教學資源，教學素材要密切聯系學生生活實踐，在引導學生自主探索、動手實踐的過程中理解數學本質，從而構筑栩栩如生的數學課堂。

2.精心創設問題情境，幫助學生掌握思想方法

數學教學中的深度探究由數學問題情境引發，在解決數學認知沖突中展開，并在不斷解決數學問題的過程中實現知識技能與思想方法總結兩個核心目標。如“三角函數的概念”的探索新知環節，教師可設計：若在摩天輪座艙中的你從初始位置OA出發，過了15秒后，你在什么位置呢？你離地面有多高呢？過了30秒呢？45秒呢？60秒、75秒、90秒、105秒呢？讓學生感知數學與生活的緊密聯系，探究其中蘊含的數形結合等思想方法。可見，在基于深度學習的教學設計中，教師要精心創設有效的、豐富的教學情境，培養學生的問題意識，既讓學生理解數學知識，更讓學生掌握研究問題的方法、探究問題的思路及如何構建知識體系的能力，進而發展學生的數學核心素養。

3.整體把握教學思路，引領學生實現知識遷移

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【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）62-0032-03

【作者簡介】張亮，南京市第一中學（南京，210001）學生工作處副主任，一級教師。

教與學的各種任務，如果根據從缺少思考到富于思考的操作方式，按它們在連續過程上達到的水平來區分和識別，一般分為記憶、解釋性理解和探究性理解三個層次。[1]盡管探究性教學在新課改中獲得了一定程度的發展，但我們的教學常停留在記憶、解釋性理解層面，探究性理解較少。另一方面，一些數學課堂的探究是一種“假探究”，讓學生進行一些膚淺的熱鬧行為。究其原因，既有傳統教學思維和應試的影響，也有部分教師對探究性教學的認識存在誤區，比如認為探究性教學耗時長、學生的思維容易信馬由韁、探究性教學僅是一種形式等。所以，對高中數學探究性教學需要進一步建立本真的理解和認識，構建探究途徑，走真正的、深度的探究道路，深化學生數學思維。

一、探究性教學內容要精心選擇

著名數學教育家波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這個問題，就好像打開一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”所以探究性教學內容需要精心選擇，否則容易造成探究的形式化、淺表化甚至娛樂化。本節課選取“三次函數的圖象和性質”作為探究內容是合適的，具體而言，學生已經掌握了導數研究函數的一般方法，具備了知識與技能上的基礎；在掌握了多項式函數中的一次、二次函數的圖象和性質后，學生比較渴望了解三次函數圖象和性質，具備了情感和態度上的基礎；相比于一次函數和二次函數，三次函數的圖象和性質更加多樣而豐富，具備了探究過程和空間上的基礎。

學生思維上的自由度還表現在“追問”的策略上。南京師范大學涂榮豹教授指出：“在課堂上，教師的啟發應該是由遠及近的?！逼浯笠馐牵航處熓紫忍岢鲆粋€很遠的問題，讓學生思考一段時間，然后教師提出一個稍接近目標的問題，再讓學生思考一段時間，然后教師再提出一個更接近目標的問題，再讓學生思考一段時間，如此不斷地進行下去。[2]所以，追問中我們需要遵循“由遠及近”的原則，給學生充分的思維空間，同時讓不同層次的學生都能在教師的啟發下，思維逐漸清晰、深入，想到應該怎么做。

上述片段中的追問顯現出學生的思維對象逐漸明晰，認識由直觀到抽象、由感性到理性的層層深入，深化了數學思維。假設我們先拋出后面的追問，因為指向性太明顯，學生思考的空間就會受限，思維的培養和深化也就成了空中樓閣。

縱觀整節課，三次函數的圖象和性質沒有硬生生地拋給學生，達成哪些具體目標、達成的先后順序是開放的、敞開的。學生的思維不僅沒有信馬由韁，相反，學生的學習熱情得以激發，數學思維得以激活，更加積極、深入地進行探究活動，有效促進了三次函數的單調特點、圖象走勢、圖象形狀和零點個數等知識在探究中的自然生成。高中數學探究性教學，只有在教師探究性教學理念的驅動下，精選探究內容，保持教學目標的開放性和探究過程的自由度，才能構建適合學生思維需求的探究途徑，拓展和深化學生數學思維，培養學生數學素養！■

【參考文獻】

篇（5）

數學是思維的科學，數學教學的重要目的之一是培養學生的思維能力. 需要注意的是，思維能力形成只有在思維中才能形成，這意味著數學教師要將自身的教學行為轉換成學生的思考行為，只有學生在思考，思維能力才有可能真正形成.從數學的角度來看，數學思維可以在多種條件下培養，但有一個基本的思維形式不可或缺，那就是“比較”.

比較在學生的生活中并不鮮見，當面對同一個難題時，他們也會比較，比較自己的思維過程；當學生的考試分數出來時，他們會比較，比較自己的學習結果. 比較是一種基本的方式，但其又往往因為沒有思維能力培養方式的介入，因而往往只是一種形式上的比較，無法真正促進能力的提升. 在高中數學教學中，應當抓住學習中的比較機會，并以思維培養的具體方式介入，以最終培養學生的思維能力. 現以“函數的單調性”（高中數學人教版必修1）教學為例，談談筆者的思考與做法.

[?] 教學設計，尋找比較因子

比較的本質是在相同中尋找不同，在不同中尋找相同. 高中數學教學中的比較，往往是基于原有的學習基礎，去發現新的數學知識與原有知識之間的聯系與區別，從而促進對新知識的認識.

函數的單調性從定義上來說，就是用數學語言去描述函數的變化趨勢――自變量按某種規律變化時因變量的變化趨勢. 但這樣的定義并不能直接促進學生的數學理解，筆者以為，這一數學理解是需要在比較過程中生成的. 分析本知識可以發現，對“單調性”這一概念的理解首先就需要一個過程――這是數學概念的本質所在，數學概念一定要能夠凸顯出數學規律的內在特征. 正如有學生所提問的：為什么叫單調性，而不叫其他的名稱呢？筆者以為不能小視學生的這一問題，因為學生能否有效地建立一個概念，直接關系著學生對概念的理解與運用.

關于這一點，如果分析教材便可以發現教材編寫者其實是很重視這一點的，就拿“函數的性質”這一標題來說，教材通過“在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質”的描述重點強調“性質”這一概念，正是注意到了概念的重要性.

筆者在教學設計時，遵循了傳統的借助于某個情境，如將某地區氣溫變化圖（如圖1）作為引入，但重點放在花時間讓學生對圖象進行分析上. 這里的分析即是比較，譬如在圖1中曲線的認識應當如何進行？可以分成幾段？每一段具有什么特點？為了描述這些不同，可以借助于數學上的哪些語言？通過這一問題鏈去促進學生的比較，應當可以促進學生對單調性這一概念的理解. 當然，如果需要繼續強化學生對概念的理解，還可以借助教材上的三幅圖進行變式訓練，限于篇幅，此不贅述. 與此類似的，單調增、單調減、增函數、減函數的概念也可以設計成讓學生比較之后生成的概念.

再一個比較因子就是單調區間. 單調區間是相對于某函數的增減性而言的，其學習與運用對應著歸納與演繹的過程. 在概念形成的過程中，學生需要將“單調區間”與“單調”及“區間”兩個概念進行比較，從而整合成一個完整的概念，在這個概念生成的過程中，又需要通過比較具體的圖象來輔助概念的理解.將比較作為概念理解的基礎，可以讓單調區間這一概念更為具體.

除了上述兩個比較因子之外，再如“研究函數的單調性與最大（小）值”. 教材上給出的是一個一次函數f（x）=x與一個二次函數f（x）=x2作為例子的，一般情況下教師的注意力往往放在例子的解析上，而事實上學生在遇到這兩個例子時，往往會有一種自然而然的比較意識――這種意識來自于生活中的比較行為，說白了也就是在不同中尋找相同. 一次函數與二次函數的圖象肯定是不一樣的，而一次函數的圖象“由左至右是上升的”，二次函數的圖象“在y軸的左側是下降的，在y軸的右側是上升的”這樣的描述，應當努力成為學生比較后的結果. 相比較之下，如果教師直接說出，那學生就少掉了一個比較的過程. 在比較之后再去認識最值，便會發現最值總是相對于一個區間而言的.

[?] 教學活動，引導學生比較

在具體的教學活動中，如何凸顯出比較這一思維方式呢？答案無非是將上面的教學設計轉換成具體的教學行為，只是需要注意的是，實際教學中學生的比較既有自發的，更離不開教師的引導.

教學環節一：“單調性”概念

根據筆者這些年的教學經驗，學生一般是難以將函數在某個區間的單調變化與單調性這一概念聯系在一起的，而這又恰恰是數學語言的魅力所在. 因此筆者在教學中創設了情境，讓學生認識到函數在某個范圍內的變化可能是單一的（具體的教學過程同行們比較熟悉，這里不贅述），在上面教學設計的問題鏈的基礎上，再向學生提出一個問題：你覺得函數在某個范圍內的單一變化用什么語言來描述比較恰當呢？

看起來這是一個非數學的問題，其實卻是讓學生整合原有思維并用自己的語言描述的過程.事實證明，這一過程對于學生的數學學習來說非常重要，當學生試圖用自己的語言去理解某一數學規律的時候，數學理解也就產生了. 在教學過程中，學生往往會想出“只增（減）”“純粹增（減）”，樸素的語言背后顯示的是與“單調增（減）”一樣的意思. 當筆者將單調一詞呈現在學生的面前時，他們一陣驚訝，“為什么是單調”是他們此時一下子冒出來的問題，而這已經不需要教師過多解釋了：比較了如圖1中不同區間的變化趨勢，比較了自己想的概念與數學中統一運用的概念，還有什么比單調這一概念更為傳神呢？

教學環節二：單調區間

這個概念是組合而成的.學生此前有了單調性與區間的概念，那單調區間會是什么意思？教材上是通過一個“思考”來打開學生的思維的：如何利用函數解析式f（x）=x2描述“隨著x的增大，相應的f（x）隨著減小……”而實際教學中可以引導學生去比較圖形并思考問題：某一函數的增減總是一成不變的嗎？如果在函數變化的過程中既有增又有減，又該如何描述呢？這樣學生自然會將圖1中的圖象分成不同的“段”，而不同的段恰恰對應著不同的區間，不同的區間的單調性又是不一樣的，因此單調區間的概念也就應運而生.當然，對于“任意x1，x2∈D，當x1

經驗表明，這樣的過程不需要太長的時間，但學生的思維卻因此而完整.

教學環節三：“最值”

給定一個單調區間，函數往往都會存在最值，這在教師來說是一個最為平常不過的認識. 但對于學生來說又是如何呢？筆者曾經做過試驗，當直接向學生提供這一概念時，學生起初會認為這是一個抽象的概念，“最”怎么會與“值”直接組合呢？而當將“最值”理解成最大值和最小值時，學生思維中出現的又是類似于極值的概念. 這個時候，最好的辦法其實還是引導學生回到如圖1及其他三個變式的圖中去比較，并回答問題：如果不給區間，那最值還有沒有意義？真正不需要區間就能確定最值的函數，是不是真的不需要確定單調區間？

這樣的問題引導學生去比較不同性質的函數，會讓學生認識到最值的確定是離不開區間的，最值是相對于區間而言的.

以上只是從具體教學活動中剝離出來的三個小的教學環節，并非課堂的全部，意在表明比較之于學生構建數學概念、理解數學概念的重要性.

[?] 學習反思，促進能力提升

篇（6）

【教學背景和分析】

1.高三復習中，學生對高中數學的知識點進行重新梳理，大量的練習和測試穿插了整個教學過程，在此階段學生的認知差異和情感差異體現得更為明顯。授課班級為高三理科班，一輪復習過程中學生的成績分化漸趨明顯，知識基礎和認知能力的差異對學生學習信心，興趣的正、負面影響逐漸體現。

2.教學內容為一份階段性測試卷的講評。試卷均分為102分（滿分160分），試卷選題有較好的區分度，學生之間的知識基礎和能力差異體現較明顯。講評前做了較詳細的卷面統計和學情分析，對重點講解的問題和重點關注的學生做到心里有數。

【教學設計】

1.講評中以認知差異為主，從而設計講評順序和題型，以閱卷中錯誤比較集中、有區分度的重點題型作為講評重點，重視數學思想的滲透。

2.講評中關注學生的情感差異，滲透情感教育，通過課堂教學中有意識的教學設計給學生表現的機會，幫助學生樹立信心，激發學生的學習興趣。

【教學目標】

1.通過精選問題的講評，提高學生分析問題的能力，強化數學思想的運用，使各個層次的學生都有所收獲。

2.結合情感教育，幫助學生樹立信心，激發學生興趣，為后續的教學打下基礎。

【教學過程】

1.學生訂正過程

給學生5～8分鐘時間，自行訂正試卷，可以舉手提問。

（教師巡視，觀察學生在此過程中遇到的認知困難和情緒波動是否和教師的預判相同）

2.教師講評過程

教學片段1：

試卷第7題：設x，y∈R，則命題A：“x2+y2≤1”是命題B：“x+y≤1”成立的______條件。（填寫“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分也不必要”）

師：填空題前6道題錯得不多，第7題開始出現分化，很多同學錯填了A是B的“充要”條件。我想先問一下充要條件的含義是什么？

生：充要條件指命題A和B可以相互推出。

師：好的，那么A是B的“充要”條件為什么是錯的？

生：A推出B不成立。可以舉出反例，如：x=y=0.6

師：非常好，一般我們說明某個判斷是錯的，只要舉出反例就可以了。要正確解答這個題目，我們應該先搞清楚A和B之間的相互推導關系。有沒有同學能說一下這個題目的判斷方法？

生：若命題B成立，可以知道x和y都小于等于1，那么x2≤x，y2≤y，則A就成立了。又因為A推不出B，所以答案是“必要不充分”。

師：很好，直接從實數x的平方數的變化范圍，利用x≤1時，x2≤x，我們得到了正確答案。那么還有沒有其他做法？

生：（思考）

師：提示一下觀察這兩個不等式，如果把這里x，y看做某個點的橫縱坐標會怎么樣？

生：（討論后回答）命題A和B中的不等式分別在平面直角坐標系中做出相應的圖象。

師：具體呢？能不能畫一下看看。

生：（動手作圖）A表示一個圓的內部，B表示一個正方形內部。（教師投影）

師：很好，那這個問題還可以怎么解釋？

生：由圖象可以知道B對應的正方形在A對應的圓的內部，也就是說B對應的點的集合和A對應的點的集合的真子集，所以B能推出A，但A推不出B。

師：很好。那么這種利用“數形關系”轉換思考角度從而用圖形解決代數問題的思路我們稱為……

生：數形結合！

師：好的，那么我們以后在解題中要注意這種思想方法的運用

（評析：在選擇典型錯例的基礎上，有目的地選擇有深度和可拓寬的題型，把握講評內容的層次性，使內容層次與學生層次相吻合，問題難度由淺到深，調動各層次學生都積極參與講評活動，幫助學生樹立信心，同時注意對所學過的知識進行歸納總結，重視數學思想的滲透，啟發新思路，探索巧解、速解和一題多解，從而使各層次學生都能有所收獲。）

教學片段2：

師：第7題解完了，現在我想了解一下這道題目的哪些同學做對了，請做對的同學把手舉一下。

生：（舉手）

師：好的，放下。說明這些同學概念掌握的很好，提出表揚，也希望其他同學吸取教訓，爭取下次不要再錯。

……

師：填空題講完了，這次的填空題有一定的難度，但班上還是有6名同學拿了滿分，他們分別是……提出表揚，希望繼續保持。

（評析：考試以后學生的情感，經常表現出強烈的兩極性，一場考試后常會引出一些意想不到的結果。在試卷講評時不可忽視各類學生的心理狀態，要用好激勵手段。講評過程中注意從各個角度肯定做得好的同學，例如總分好的，或者某一方面做得好的，或者穿插對某個題目正確情況的當堂統計，在全班同學的注視下，增強他們的學習信心。因此，雖然教師對考試結果已有詳細統計，但仍應刻意安排這一環節。）

教學片段3：

師：下面我們看第16題的立體幾何題，立體幾何是高考必考題，雖然難度不大，但希望引起大家的重視，不要無謂丟分。

師：從這道題目的批改結果看，大多數同學都知道解題的思路，但不少人拿不到全分，原因往往在于書寫不規范，定理敘述不完整。我們請孫xx同學把她的解題過程拿上來給我們看一下。

（學生孫xx數學基礎一般，此次成績98，在均分以下，解題速度較慢，但學習態度認真，立體幾何的書寫比較嚴密和完整，用她的試卷作為樣卷，實物投影略作點評和講解。）

……

師：孫xx同學的過程非常完整，定理運用準確，大家對照自己的過程，希望能有所改進。

（評析：對各種優點的表揚要因人而異，對學生的答卷優點，應大加推崇。如卷面整潔、解題規范；解法有獨到之外、有創造性等， 優秀的答卷可以在全班作為樣卷評講，不僅可以節約板書時間，提高課堂效率；還可以大大增強學生的學習興趣和信心。由于這道立體幾何題雖有不少失分但問題難度不大，只需略講，用孫xx試卷的展示即節約了時間，提高了教學效率，又對其學習態度作了無形的褒獎，可以激發此類中等生的學習熱情。）

篇（7）

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11B-0097-02

“先行組織者”是美國教育心理學家奧蘇貝爾在1960年提出的一個教育心理學的重要概念，“先行組織者”就是為同化當前知識與原有的認知結構而先于學習任務本身呈現的一種引導性的材料，它在教學中起到相當重要的橋梁作用。2003年教育部制訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》明確指出，倡導積極主動、勇于探究的學習方式。將“先行組織者”教學策略應用于數學教學中，適合學生認知結構的特點，有助于教師設計教學內容、安排教學順序，有助于學生的自主學習、記憶保持、遷移運用。這一種教學策略，能夠提高學生分析問題的能力和解決問題的能力，從而形成高效課堂。本課例是將“先行組織者”教學策略應用于n堂教學的實踐，現將具體的教學過程呈現如下。

【學習目標】

1.了解類比推理的數學方法含義，以及這種思維方法的過程和特點；

2.運用類比方法進行簡單推理，做出數學猜想；

3.培養學生的數學歸納能力，提高學生的創新探索意識；

4.培養學生嚴謹、創新的數學思維習慣和鍥而不舍的鉆研精神。

【重點難點】

重點：了解類比推理的含義以及數學中類比思維的過程、特點，能利用類比進行簡單的數學推理。

難點：運用“觀察―類比―猜想―證明”探求數學結論。

【課堂片段實錄】

任務1：問題導思

閱讀教材（普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修1-2），P25―27，在理解的基礎上，完成下列知識點的填空。

1.魯班由帶齒的草發明鋸；人們從蜻蜓的飛行過程發現直升飛機的飛行原理，仿照魚類外形及沉浮原理發明潛水艇，在教學中由指數函數性質探索發現對數函數的性質。以上都是類比思維，即類比推理。

由兩類對象具有某些________和其中一類對象的某些________，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）。簡言之，類比推理是________的推理。

2.初中在平面幾何中學習的勾股定理：如圖 1 所示，在RtABC 中，a，b，c 為角 A，B，C 所對的邊，則用勾股定理表示為________。

任務 2：合作探究

例1 觀察下列等式：

大家觀察這組式子，他們有什么不同之處？從中可以發現什么規律？由此，你能歸納出 RtABC 中三個內角的一個性質嗎？這個性質是不是與勾股定理有幾分相似呢？你進而能證明所得到的結論嗎？

【設計意圖】以學生熟悉的兩個式子為“先行組織者”，引入課題，通過探索和發現，激發學生學習的興趣。創設一個以學生為主體，師生互動，共同探索的教與學情境，讓學生帶著問題通過自主學習、課堂討論、相互合作等方式，使學生在解決問題的過程中不知不覺地實現知識的傳遞、遷移和融合。

學生小組討論、展示。

A 組的觀點是：由誘導公式得，從而得到在 RtABC 中有；

B 組的觀點是：因為，進而得到在 RtABC 中有。

教師：上面得到的結論與勾股定理在形式上是否相似？你能運用勾股定理來證明這個結論嗎？

【設計意圖】從歸納推理過渡到類比推理。

進入小組討論。

C 組展示做法：由平面內直角三角形的勾股定理：，得，從而得到。

教師小結：大家能從勾股定理出發，用歸納、類比的方法找到相關的性質。其實與勾股定理類似的還有許多數學性質，例如設 a 邊上的高為 ha ，b 邊上的高為 hb ，c 邊上的高為 hc ， 是否成立？

小組討論后，用特例說明，令 a=3，b=4，c=5，則 ha=4，hb=3，，故結論 明顯不成立。

D 小組認為：通過實驗，等式可能成立，大家可以嘗試利用勾股定理作出說明。

于是，又進入討論環節，最終給出了這個性質的證明。

【設計意圖】教師將“先行組織者”設計為勾股定理，設問采用漸進分化策略，降低思維難度，讓學生體會歸納推理的一般步驟，進而讓學生知道歸納推理能夠起到提供研究方向的作用，給出探索的路徑。學生積極主動地參與課堂活動（例如小組討論的形式），體驗歸納推理獲得數學結論的過程，了解歸納推理的含義，明確歸納推理的一般步驟。

【平行訓練】

（1）如圖 2 左圖所示，設長方形的長和寬分別為 x 和 y，則其對角線 l 的長為：l = ________。

（2）如圖 2 右圖所示，設長方體的長、寬、高分別為 x，y，z，則其體對角線 l 的長為：l =________ 。

【設計意圖】基礎訓練，檢查教學效果。練習題由淺入深，螺旋上升，逐步提高學生的思維能力。

通過討論得到答案（1）；（2）。

由平行練習得到啟發，我們可以將勾股定理從平面幾何圖形拓展到立體幾何圖形。

例2 （普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修 1-2，P26 例 4 改編）如圖 3 ，在正方形中用直線截得一個 RtABC，同樣在正方體中用平面截得一個三個側面兩兩垂直的四面體。類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想。

【設計意圖】讓學生通過觀察、感知、分析和歸納，完成由易到難、由淺入深、由已知到未知、由特殊到一般的思維飛躍。思維提示：直角三角形中，∠C=90°，3 條邊的長度為 a，b，c，其中 2 條直角邊 a，b 和 1 條斜邊 c 在 3 個側面兩兩垂直的四面體中，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，4 個面的面積 ，， 和 ，其中 3 個“直角面”，， 和 1 個“斜面” 拓展：三角形到四面體的類比。

E 小組用比的思想方法得到猜想：

教師：這個結論正確嗎？請同學們證明。

通過學習討論，學生展示了這個性質的證明方法。

【課后評析】

在《普通高中數學課程標準》中，課程基本理念倡導自主學習、探索學習，指出“高中數學課程應返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展背景、過程和本質，使學生理解數學概念產生的背景和逐步形成的過程，體會其中的思想，體驗尋找真理和發展真理的方法”。數學既是演繹的科學，也是歸納的科學，因此，數學已形成一整套結論的體系，而且結論的發現過程也成為我們教學的主要內容。歸納推理是“推理與證明”一章中的重要組成部分，具有探索、發現和猜測部分數學結論的作用，有利于學生創新意識的培養，在實際生活中用途很大。類比推理這節課是以新課標為依據，結合學?？蒲姓n題“在新課改背景下高中數學教學中先行組織者策略的實踐與探索”進行課堂教學設計。

在中學數學教學過程中，我們常常會遇到似曾相識的問題，如果把似曾相識的問題進行對比和比較，或許會發現許多意外的結果和方法。這種“把類似進行比較、聯想，由一個數學對象已知的特殊性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個數學對象的性質”的思維方法就是類比法。本節課通過歸納的方法引出問題，用類比的方法去發現新的數學性質，再用演繹的方法去證明。所提供的問題情境，需要探索性思維和整體性思維。通過學生的觀察和類比，尋找論證方法，給學生提供施展才華、發展智慧的機會。

篇（8）

高中學生在入學前發展了許多非形式教學知識，這些知識對學生來說很有意義也很有趣味，非形式教學常常是主動建構而不是被動接受．進入高中后，大量的學習是用符號寫成的形式數學．研究表明，“學生常常不是按照教師的方式去做數學．”也就是說，學生不只是模仿和接受成人的策略和思維模式，他們要用自己現存知識去過濾和解釋新信息，以致同化他們．

［案例1］ “二項式定理”教學實錄片段

教師：大家一定知道著名的大數學家費馬吧，他是解析幾何的創始人之一．費馬對數學的貢獻遠遠不止于此，他幾乎涉足到數學的每一個領域當中．與費馬同期的有一位也相當著名的物理學家，他就是帕斯卡，帕斯卡與費馬非常友好．費馬三番五次要引起帕斯卡對數論的注意，這樣他們可以一起研究討論，可是帕斯卡從來對這門數學并不在意．可是他們卻同時對一個問題產生了興趣，而且一起研究．下面讓我們一同來看一看引起這兩位著名學者注意與興趣的究竟是什么問題？

教師：他們感興趣的問題是（屏幕上出現有關內容與動畫演示）：丟擲一個銅板或者一粒骰子幾次，我們所期望的結果出現的機會是多大？能不能計算出來？這個問題在我們先前學過的概率知識中是可以解決的，而帕斯卡和費馬研究最簡單的情形：擲銅板的游戲．一個銅板只有二面：頭和花．我們用英文字母T代表花，H代表頭．

擲銅板一個一次出現的可能情形是：T、H．

擲銅板一個二次出現的可能情形是：TT、TH、HT、HH．

擲銅板一個三次出現的可能情形是：TTT、THT、HTT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH．

在這類游戲中，我們并不關心頭和花出現的次序而是它們的次數．因此我們把TH和HT看成是一樣的，THT和HTT及TTH是當作相同，又如果我們把TT、TTT簡寫成T2、T3．那么我們看看擲銅板游戲的結果：

擲一次： T H

擲二次： T2 2TH H2

擲三次： T3 3T2H 3TH2 H3

擲四次： T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

… …

同學們也來當一回小數學家，你如果得到上述結果， 你會有何推測與聯想呢？

（課堂上以小組為單位熱烈的討論起來．）

學生1：我有發現！我把那些數字提取出來便可以得到一個三角堆．

0行1

1行1 1

2行1 2 1

3行1 3 3 1

4行1 4 6 4 1

5行1 5 10 10 5 1

6行1 6 15 20 15 6 1

…………

教師：非常好！按照這位同學的方法我們可以得到一個數字結構．請大家看大屏幕．我們可以設第0行的數字是1，或者可以這樣說，沒有擲銅板，那么結果只有一種，大家同意嗎？

學生們：同意！

教師：以上同學們推測的結果就是“楊輝三角”．讓我們來看一下有關我國古代著名數學家楊輝及其成就．（在屏幕上顯示有關我國古代著名數學家楊輝及其成就，增強學生的民族自豪感）

教師：當然以上的楊輝三角僅僅是大家推測的結果，正如牛頓的名言：“沒有大膽的猜想，就不能有偉大的發現和發明. ”同學們現在就把自己置于數學家的位置，仔細觀察一下這個蘊涵豐富數學思想的楊輝三角，看看它會使你聯想到與哪些我們已經接觸過的數學結構有關呢？

教師提示：與什么樣的代數結構有關？

（小組討論若干時間后）

學生2：我們小組討論的結果是楊輝三角與

(a+b)n展開后的系數有關．

n＝0， 我們有(a+b)0＝1

n＝1， 我們有(a+b)1＝a＋b

n＝2， 我們有(a+b)2＝（a＋b）（a＋b）＝a（a＋b）＋b（a＋b）＝a2+2ab+b2

n＝3， 我們有(a+b)3＝(a+b)1(a+b)2＝a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)＝a3+3a2b+3ab2+b3

… …

教師：Very good! 大家的探究已經有了成果．處于17世紀末的牛頓也發現了二項式的一般展開式的系數具有這樣的規律．這個結果一般我們的數學教材上稱為二項式定理，有些參考書目上也稱為牛頓二項式定理，這是代數上的一個基本和重要的定理．下面就讓我們大家一起來揭開這個重要的代數定理的神秘面紗．

2 創建適當情境，自述概念實質

學生能用自己的語言解釋概念的本質屬性是學生深刻理解概念的一個非常重要的標志，而將日常語言翻譯成數學語言則是一項常規的數學活動，是數學應用的必要步驟．在數學教學中，我們應當從數學學習的自身特點出發，在使用抽象的數學語言和符號表述思想之前，通過可觀察的（實物、圖形、圖表等）、描述性的、可親身體驗的形式來傳播新的思想，從而引起學生的學習興趣，促使他們自己去試驗、構造，用他們自己的語言去闡述和解釋，以達到對知識的真正的理解．要為學生創造一種環境，使他們在其中能扮演自主活動的角色，有發揮自己的聰明才智進行創造性學習的機會，能自己去尋找需要的證據，獲得能夠反映自身特點的對數學原理的解釋．

［案例2］ “函數最大值與最小值”教學設計片段

2．1 看股市行情，滲透最值概念

下面是一段摘自股市分析的話：

從一月份股市行情看2007年大盤走勢．通過對以前K線圖的分析，還可以得出一個結論：這就是大盤很容易在年中形成大頂部，而在年前、年后則很容易形成大底部．

（1）給出大盤走勢的一張草圖．引導學生分析大盤走勢草圖中隱含的函數關系：橫坐標的現實意義；縱坐標的現實意義；兩個變量之間的一種函數關系．

（2）在大盤走勢的函數圖像中引導學生進一步思考它反映了曾學過的函數的重要性質：函數的單調性．

（3）讓學生考慮用數學語言來解釋“大盤很容易在年中形成大頂部，而在年前、年后則很容易形成大底部”這句話．從中隱含著函數的另一個重要性質：函數的最大值與最小值．

設計意圖：數學概念有些是由生產、生活實際問題中抽象出來，有些數學概念源于生活實際，但又依賴已有的數學概念而產生，對于這些概念的教學要通過一些感性材料，創設歸納、抽象的情景，引導學生提煉數學概念的本質屬性．在這里我們用現今的股市行情作為問題的實際背景引出函數的最大值與最小值，讓學生認識到我們的生活中處處有數學，處處滲透著數學模型．

2．2 分析辨別概念，由表象到本質

讓學生通過上述問題情境，通過“數學學習共同體”的探討，根據自己的理解給出“函數最大值與最小值”的概念，并把這些概念羅列在黑板上．（學生給出的一系列概念中或許有些是不完善的，有些甚至是錯誤的．）

（1）對學生給出的一系列“函數最大值與最小值”的概念加以辨析，對一些不完善的理解加以完善，對一些錯誤的理解加以修正，從而得到“函數最大值與最小值”在直觀圖像上的理解：函數在給定的定義域內的最大值對應于函數圖像上的最高點的函數值，最小值對應于函數圖像上的最低點的函數值．在函數取得最大值處，函數呈現先遞增再遞減的趨勢；在函數取得最小值處，函數呈現先遞減再遞增的趨勢．

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（2）教師給出嚴格的函數最大值的定義．

（3）讓學生類比的給出函數最小值的定義．

（4）對函數最大值與最小值概念的進一步理解與辨析

教師提問：若在上述定義中去掉“任意”兩字，這個定義是否正確？

讓學生體會“任意”兩字的重要性，進一步從圖像（上面的股市大盤走勢函數圖）上理解函數最值的真正含義．

設計意圖：尊重學生的主體意識，利用“情境相關性”促使學生的認知在“數學學習共同體”的探討與辨析中不斷得到同化與順應，矛盾對立不斷得到統一，概念理解不斷得到提升；讓學生在“數學學習共同體”這個實踐場當中與群體、環境產生互動與協調，從而使學生中的“邊緣參與者”向“中心成員”轉變；最后由教師給出函數最大值的嚴格的形式化定義，學生是應該能夠理解與接受，再讓學生類比的給出函數最小值的嚴格表述，這樣就給學生尋找了一個合適的臺階進行過度．

3 滲透數學形式化，合理提升思維

高中數學偏重于非形式化，但一定的形式化也是必不可少的．數學是抽象化了的理論, 完全由數學特有的語言、符號、組織方式來體現,我們所操作的、所面對的也都是這些形式化了的對象．因此,掌握數學形式演變的常規的、必然的規則, 數學表示與結果形式的習慣模式、乃至具體到每一類問題的表示形式、結果形式等等, 也就顯得十分必要．當然這里面絕不只是指那種純粹的變化規則, 而是要結合邏輯的、直覺的思想方法, 以推進數學解題的進程．加強形式化思維的教學, 符合數學內在的規律, 是數學認識的一個重要方面．應當培養學生進行較復雜的形式推演的訓練,培養學生善于用數學的符號、運算、名稱、關系等來考察與對待各種實際問題中的數量方面的內容, 把對象系統中量的方面的表現通過恰當的數學形式，比如：坐標系、函數、集合、方程、不等式、曲線、圖形等來表示,以提出規范化的、切合實際的數學問題, 建立數學模型、目標．

［案例3］ “糖水問題”案例設計

糖水應該是日常生活中再簡單不過的東西，糖水濃度向我們提供了豐富的教學資源．

這個平凡的糖水能提供這么豐富的數學素材，我們能引導學生將這樣一個普遍而又簡單的實際問題一層一層的上升到數學形式化的表達式，歸納出數學形式化的不等式．對于學生來講，這不能不說是一種數學能力與數學素養的提高，因此我們可以說，在必要的時刻對某些問題進行適當形式化的處理是十分必要的．

4 調整知識順序，建立網絡結點

數學的教育形態之一就是要把教科書上線性排列的知識“打亂”，同時融合不同學科的相關知識，由內在聯結將它們串起來，建立網絡．這樣，學生的火熱的思考就在于凸現思維網絡的“結點”，在紛繁復雜的干擾中尋找本質的、感性的信息，從而使教學達到對數學內在本質的認識．這里，讓我們通過一些案例說明如何認識、組織和設計一些數學聯結點，形成學生火熱的“聯結性”思考．

（1）高中數學中平面向量、解析幾何、復數三者之間就存在著必然的聯系，其基本的連接點就是“既有方向，又有大小”．于是在這些知識的教學中就要恢復學生火熱的思考．使“既有方向，又有大小”這一思想在不同的，或許是相互沒有聯系的情境中應用．

（2）三角函數的教學，從靜態的正弦定理、余弦定理到動態的周期變化、潮水漲落、彈簧波的振動以及在軸上均勻旋轉的輪子邊緣上熒光點的運動等現象，把代數式、三角形、單位圓、投影、波周期等離散的領域聯系在一起，正是三角函數使它們形成一個有機整體，同時它們也是三角函數在不同側面的反映．因此對于三角函數的教學必須通過再創造來恢復學生火熱的思考，使之返璞歸真，讓三角函數豐滿起來，才能把教科書上定義―公式―圖像―性質―應用這些冰冷的美麗變成學生豐富的聯想，使學生在某一領域孤立學習的主題能遷移到另一領域中．

（3）余弦定理是代數式與三角形的聯結點．如下面問題，用余弦定理觀察代數式就是關鍵，是學生火熱思考的來源．

篇（9）

初中數學是一門理論性和實用性較強的學科，枯燥的理論知識容易讓學生們產生厭倦，而活潑、有趣的數學情景模式的創設正是解決這一問題的鑰匙。

我們為什么要創設初中數學教學情境呢，筆者認為主要是因為初中數學情境的創設具備以下三個方面的價值。

1. 初中數學情境創設的價值

（1）可以增強學生學習數學的興趣。

數學問題情境的創設，可以把枯燥的數學學習變成生動、活潑、直觀的學習，能夠激發學生學習數學知識的興趣。

講述九年級上冊《車輪為什么做成圓形》這一節課的內容時，我的教學情境設計片段如下：①多媒體演示：一輛卡車在高速公路上直馳的情境?？ㄍㄈ宋锂嬐庖魡枺骸翱ㄜ嚨妮喿訛槭裁匆龀蓤A的？假如卡車的輪子做成三角形，卡車行駛起來會出現什么情況？”②讓學生分組討論。③教師提問各小組的討論情況。④多媒體演示：把上面卡車的輪子改成三角形或四邊形，卡車在高速公路上一瘸一拐、慢吞吞地行駛。

學生在我教學設計的指引下進行探究，馬上引起學生的共鳴，學生們熱烈地進行小組交流，達到了預期的教學效果。

（2）可以讓學生們深刻體會數學來源于實踐又指導實踐的理論思想。

通過一個個數學情境的創設，能讓學生們充分理解數學學習是前輩們從無數生活實踐中經過艱辛的努力得出的結晶，而這些結晶又反過來指導生活實踐，促進實踐的進步。讓他們初步體會數學學習的價值和意義并能初步培養他們數學研究的思維。

（3）可以提高學生們的動手能力。

教師通過操作數學情境的創設，讓學生參與數學學習的全過程。在實際操作過程中探索數學的奧秘，從而不僅可以提高學生的動手能力，還可以提高學生分析問題，解決問題的能力，還可充分調動了學生學習的積極性，學生的思維一下子得到激發，學生掌握知識快、掌握知識牢固，教學效果不言而喻。

2. 初中數學情境創設的原則

（1）注重形象化和直觀化。

形象化、直觀化的問題情境適合初中生思維形象具體的特點，容易被學生理解，集中學生的注意力，從而激發學生學習的主動性和積極性。例如在講解《正數和負數》的時候，教師事先準備一個學生熟知的溫度計，引導學生觀察溫度計的刻度，使學生們很容易理解正負數的概念。這種形象直觀的演示，教師易操作，學生學習的興趣濃厚，教學效果可想而知。

（2）注重問題的層次性。

情境的設計必須由淺入深，由易到難，層層遞進，把學生的思維逐步引向深入。創設階梯式問題情境，把大的問題化成一個個小的問題，而且前面的小問題提示學生思考后面的小問題，化難而易，從而可以讓學生們易于接受樂于接受。

（3）注重發散性。

教學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，而初中生的思維正處于以具體形象思維為主要形式向以抽象邏輯思維為主要形式逐步過渡的階段，數學知識的抽象性與學生認識的具體形象之間存在著矛盾。因此，在初中數學教學活動中，應以問題為主線，通過創設問題情境來調動學生思維的參與，激發其內驅力，使學生真正進入學習狀態之中，達到掌握知識、訓練思維和提高能力的目的。

（4）注重問題性。

“問題”是探究的方向與動力，是學生學習新知的源頭所在，學生要在解決問題的過程中學會學習，建構新知，根據學習內容，創設學生熟悉或感興趣，與學習新知緊密相關的情境，利于學生提取信息，提出數學問題。

（5）注重啟發性。

作為數學情境的材料或活動，必須富有啟發性，能激發學生的求知欲，引發學生廣泛的聯想和想象。

3. 問題情境的創設要求

適宜的問題情境能激發學生的思維，調動學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，而不切實際，抽象空洞的問題情境只會使學生產生高深莫測的心理困惑，創設適宜的問題情境，應具備以下要素：

（1）具有最近發展情。

問題情境的創設要與學生的智力和知識水平相適應。過易的問題學生不感興趣，反之會使學生感到高不可攀?，F代數學理論認為，在學生的“最近發展區”提出問題，能促進學生最大限度地調動相關舊知識來積極探究，找到新知識的“生長點”，從而實現學生的“現有水平”向“未來的發展水平”的遷移。因此，創設的問題情境必須依原有知識為基礎，以新知識為目標，才能收到良好的效果。

（2）具有針對性。

問題情境必須針對教學目標來創設。

（3）具有一定的開放性。

創設的問題情境必須具有趣味性，這樣才能引起學生的共鳴，產生探究結論的興趣，調動學生為問題的解決形成一個合適的思維意向。

（4）具有連續性。

創設的問題情境具有連續性，能起到承前啟后，溫故知新的作用。問題情境可以具有單一的連續性，也可以具有層層遞進的梯度式的連續性。

4. 初中數學情境創設的具體方法

（1）在學生生活經驗的基礎上創設問題情境。

數學來源于實踐，又去指導實踐，這是數學研究和學習的思維。同樣在數學教學過程中，我們也應當遵循這一指導思想，從初中數學學生所具備的基本生活經驗出發，創設他們能夠理解和易于接受的實際問題。當數學和現實生活密切結合時，數學次優生命力，數學教師設計貼近生活數學情境入課，學生們才會感到親切和易于理解和接受。

（2）講述數學典故來創設問題情境。

歷史上的數學典故有時反映了知識形成的過程，有時反映了知識點的本質，用這樣的故事來創設問題的情境不僅能夠加深學生對知識的理解，還能加深學生對數學的興趣，提高數學的審美能力。如在學習“圓周率”的時，教師可以講述祖沖之是怎樣通過艱苦的努力得出圓周率，并講述這一研究成果的歷史地位和意義。

（3）“試誤性”情境的創設。

學生在理解、應用數學知識和方法的過程中，常因各種原因犯一些似是而非的錯誤，適當創設“試誤型”教學情境，可為學生嘗試錯誤提供時間和空間，并通過反思錯誤的原因，加深對知識、方法的理解和掌握，提高學生對錯誤的認識和警戒，培養思維的批判性和嚴謹性。

篇（10）

激發學習興趣 培養參與意識

如何激發學生的學習熱情是上好一堂課的關鍵。近半個世紀來，中國的教育受凱洛夫教育思想的影響極深，注重認知，忽略情感，學校成為單一傳授知識的場所。這就導致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質的全面提高，尤其是影響了情感意志及創造性的培養和發展。情境教育反映在數學教學中，就是要求教師注重數學的文化價值，創設有利于當今素質教育的問題情境。

例如，在學習函數基本性質的最大值和最小值時，可以先播放一段壯觀的煙花片段?！啊笔⒎?，制造時，一般期望它達到最高點時爆炸。那么，煙花距地面的高度h與時間t之間的關系如何確定？如果煙花距地面的高度h與時間t之間的關系就為h(t)=-4.9t2+14.7t+18。煙花沖出，什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？

通過創設問題情境，讓學生感受數學是非常有趣的，數學不只存在于課堂上、高考中，數學的價值是無處不在的。情境教學能促進教學過程變成一種不斷引起學生極大興趣的，向知識領域不斷探索的活動。借助多媒體強大的圖形處理功能，新異的教學手段，創設生動有趣的情境，激發學生的學習情緒，使學生固有的好奇心、求知欲得以滿足，同時給學生提供了自主探索與合作交流的環境。

拓展教與學的資源

信息時代，網絡為師生提供了新的學習資源。新的課程資源除課本外，還有網絡資源，地方課程資源，社區課程資源和校本課程資源。新課程中，學生的學習也離不開網絡，網絡課程資源是對課本的重要補充。許多研究性學習課題，探究課題，都需要學生自主查找資料。目前，查找資料最方便、快捷的方法無疑是網絡。

例如，在學完《導數》一章后，有一個研究性學習課題——“走進微積分”，讓學生自愿組成學習小組，上網查找下列資料：①我國古代有哪些微積分思想的例子；②微積分產生的時代背景；③牛頓、萊布尼茨的生平；④微積分對人類科學和社會的影響。大多數同學利用網絡資源完成了這個課題，對微積分有了更加深刻的認識。

信息技術與數學的整合也要求教師不斷學習先進的教育、教學理論和方法，學習信息技術。這些學習，除參加各級教研活動，參加各種培訓外，最適合教師的，也是最方便、快捷的，就是網絡學習。高中數學是抽象性和靈活性較強的學科。成功的數學課，不僅要看到教學素材的合理選取，教學方式的變化，更需要體現的是老師與學生的思維、語言以及情感的交流。所以，在運用信息技術時，也要注意以下幾點。

不宜過分追求大容量、高密度

不少教師對信息的大容量、高密度，津津樂道。教學中不給學生思考、討論的時間，甚至一節課完成過去兩節或三節課才能學完的內容，“人灌”變為更高效的“機灌”。失去了學生的思考，看似充實的內容，也失去了它的意義。

不應忽視師生情感交流

有些教師將預先設計好的或網上下載的課件輸入電腦，然后不加選擇地按程序將教學內容一點不漏地逐一展現；或片面追求多媒體課件的系統性和完整性，從組織教學到新課講授，從鞏固練習到課堂作業，每一個細節都有詳盡的與畫面相配套的解說和分析。至于這些內容是否適合學生，是否具有針對性，則無暇顧及。忽視教學中最為重要的師生之間的情感交流，讓學生體驗學習數學的價值就無從談起，數學的教育性就大打折扣。

繼承傳統教學中的合理成分

雖然信息技術與數學教學整合具有傳統教學手段所不具有的很多優勢，但傳統教學手段，無論是物質形態，還是智能形態，之所以可以延續至今，是因為它有巨大的教育功能。信息技術不可能簡單、完全地取代傳統教學手段。何況，目前很多課件的設計，也來源于一些教師在傳統環境下的教學經驗。因此，數學教學在使用信息技術的同時，要吸收傳統教學手段中合理的東西，做到優勢互補，協同發揮其教育教學功能。

整合需要好的教學設計

篇（11）

數學在培養和提高思維能力方面，發揮著特有的作用；其內容、思想、方法和語言已成為現代文化的重要組成部分。將信息技術運用于數學教學，彌補了傳統教學的不足，提高了教學效率，同時也培養了學生的信息技術技能和解決問題的能力。信息技術與數學教學的融合，主要有以下幾方面的功能。

一、引領思維發展，拓寬學生的思維過程

信息時代，網絡為師生提供了新的學習資源。新的課程資源除課本外，還有網絡資源，地方課程資源，社區課程資源和校本課程資源。新課程中，學生的學習也離不開網絡，網絡課程資源是對課本的重要補充。許多研究性學習課題，探究課題，都需要學生自主查找資料。目前，查找資料最方便、快捷的方法無疑是網絡。

例如，在學完《導數》一章后，有一個研究性學習課題——“走進微積分”，讓學生自愿組成學習小組，上網查找下列資料：①我國古代有哪些微積分思想的例子；②微積分產生的時代背景；③牛頓、萊布尼茨的生平；④微積分對人類科學和社會的影響。大多數同學利用網絡資源完成了這個課題，對微積分有了更加深刻的認識。

信息技術與數學的整合也要求教師不斷學習先進的教育、教學理論和方法，學習信息技術。這些學習，除參加各級教研活動，參加各種培訓外，最適合教師的，也是最方便、快捷的，就是網絡學習。高中數學是抽象性和靈活性較強的學科。成功的數學課，不僅要看到教學素材的合理選取，教學方式的變化，更需要體現的是老師與學生的思維、語言以及情感的交流。

不少教師對信息的大容量、高密度，津津樂道。教學中不給學生思考、討論的時間，甚至一節課完成過去兩節或三節課才能學完的內容，“人灌”變為更高效的“機灌”。失去了學生的思考，看似充實的內容，也失去了它的意義。

二、培養學生的參與意識，打造高效愉悅的數學課堂

如何激發學生的學習熱情是上好一堂課的關鍵。近半個世紀來，中國的教育受凱洛夫教育思想的影響極深，注重認知，忽略情感，學校成為單一傳授知識的場所。這就導致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質的全面提高，尤其是影響了情感意志及創造性的培養和發展。情境教育反映在數學教學中，就是要求教師注重數學的文化價值，創設有利于當今素質教育的問題情境。

例如，在學習函數基本性質的最大值和最小值時，可以先播放一段壯觀的煙花片段?！啊笔⒎牛圃鞎r，一般期望它達到最高點時爆炸。那么，煙花距地面的高度h與時間t之間的關系如何確定？如果煙花距地面的高度h與時間t之間的關系就為h(t)=-4.9t2+14.7t+18。煙花沖出，什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？

通過創設問題情境，讓學生感受數學是非常有趣的，數學不只存在于課堂上、高考中，數學的價值是無處不在的。情境教學能促進教學過程變成一種不斷引起學生極大興趣的，向知識領域不斷探索的活動。借助多媒體強大的圖形處理功能，新異的教學手段，創設生動有趣的情境，激發學生的學習情緒，使學生固有的好奇心、求知欲得以滿足，同時給學生提供了自主探索與合作交流的環境。

三、重視情感交流，增強學習的針對性

有些教師將預先設計好的或網上下載的課件輸入電腦，然后不加選擇地按程序將教學內容一點不漏地逐一展現；或片面追求多媒體課件的系統性和完整性，從組織教學到新課講授，從鞏固練習到課堂作業，每一個細節都有詳盡的與畫面相配套的解說和分析。至于這些內容是否適合學生，是否具有針對性，則無暇顧及。忽視教學中最為重要的師生之間的情感交流，讓學生體驗學習數學的價值就無從談起，數學的教育性就大打折扣。

四、重視傳統資源，優勢互補

雖然信息技術與數學教學整合具有傳統教學手段所不具有的很多優勢，但傳統教學手段，無論是物質形態，還是智能形態，之所以可以延續至今，是因為它有巨大的教育功能。信息技術不可能簡單、完全地取代傳統教學手段。何況，目前很多課件的設計，也來源于一些教師在傳統環境下的教學經驗。因此，數學教學在使用信息技術的同時，要吸收傳統教學手段中合理的東西，做到優勢互補，協同發揮其教育教學功能。